2024年中考广东专用数学一轮知识梳理复习第13课 二次函数的应用

第三章 函数 第13课 二次函数的应用 课程标准 (2022年版) (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 (2)能用二次函数解决相应的实际问题 版本导航 人教九上P49－P54　　北师九下P46－P50 ⁠ ⁠ (威海中考)某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门)．求鸡场面积的最大值． 解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(47－2x＋1)m. 由题意，得y＝x(47－2x＋1)， 即y＝－2(x－12)2＋288. ∵－2＜0，∴当x＝12时，y有最大值为288. 当x＝12时，47－2x＋1＝24＜25(符合题意)． ∴鸡场面积的最大值为288 m2. ⁠ ⁠ (2021·广东)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 解：(1)设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a－10)元． 由题意，得＝.解得a＝40. 经检验，a＝40是方程的解，且符合题意． ∴40－10＝30(元)． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． (2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润． (2)由题意，得当x＝50时，每天可售出100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售[100－2(x－50)]盒，每盒的利润为(x－40)元． ∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8 000，即y＝－2(x－70)2＋1 800. ∵x＜70时，y随x的增大而增大，50≤x≤65， ∴x＝65时，y有最大值为1 750. ∴y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，最大利润为1 750元． ⁠ ⁠ 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．点P为抛物线上的一个动点． (1)抛物线的解析式为 　y＝－x2＋2x＋3　 ⁠，点C的坐标为 　(0，3)　 ⁠； y＝－x2＋2x＋3　 (0，3)　 (2)若点P在第一象限内的抛物线上，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； 解：(2)如图1，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，交BC于点F.易得直线BC的解析式为y＝－x＋3. 设P(m，－m2＋2m＋3)(m＞0)，则F(m，－m＋3)． ∴PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m. ∴S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝PF·(xB－xE)＋PF·(xE－xC)＝PF·(xB－xC)＝(－m2＋3m)×(3－0)＝(- ) ＋m＝(- ) ＋. ∵－＜0，∴当m＝时，S△PBC的值最大． ∴当m＝时，－m2＋2m＋3＝. ∴当m＝时，S△PBC最大，此时点P的坐标为(，). (3)当△PBC是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标． (3)如图2，作BC的垂直平分线，垂足为点D，交抛物线于点P1，P2. ∵B(3，0)，C(0，3)，P1P2垂直平分BC， ∴△OBC为等腰直角三角形，P1P2过原点，点D的坐标为(，)，即D(，). 易得P1P2的解析式为y＝x. 联立，得 解得 ∴点P的坐标为(，)或(，). ⁠ ⁠ 一题多解(2023·南充改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． (2)法1：设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，点Q(x，0)．易得点C的坐标为(0，3)． 当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式，得3＝－m2＋2m＋3. 解得m1＝0(舍去)，m2＝2. ∴点P的坐标为(2，3)． 当BQ为对角线时，同理，得0＝－m2＋2m＋3＋3. 解得m3＝1＋，m4＝1－. ∴点P的坐标为(1＋，－3)或(1－，－3)． 综上所述，点P的坐标为(2，3)或(1＋，－3)或(1－，