4.2.2 换底公式教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.2.2 换底公式 教学目标 1.通过实例推导换底公式,准确地运用对数运算性质进行运算. 2.运用对数运算性质解决有关问题. 教学重难点 重点:对数运算的性质与换底公式的应用. 难点:灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值. 教学过程 1、 新课导入 有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”).对一般的底数,且和,要计算 ,必须将它转换成常用对数或自然对数.如何转换呢? 二、新知探究 问题1:用计算器求的值. 操作步骤:设,则5, 在5的两边取常用对数,得,所以 这样就可以用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值: 因为计算器显示的数位是有限的,所以得到的结果一般是近似值. 同理可得. 这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出的值. 问题2:通过操作计算器的过程,你能总结出什么规律? 答案:一般地,若,,,且,,则 这个结论称为对数的换底公式. 总结:(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义; (2)换底公式的意义在于改变对数式的底数,把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明; (3)常见的有:或. (4)常用结论: ①(a>0且,b>0且 ②且,,. ③且,b>0 问题3:你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 证明:可令, 则,, 则,, 则, 所以. 三、应用举例 例1 计算:(1);(2); (3)(0,0,且,). 解: 根据对数的换底公式,得 (1); (2); (3). 例2 计算:(1);(2). 解:根据对数的换底公式,得 (1) (2) 总结:在对数运算中,要特别注意观察对数的特点,若是同底数对数的加减运算,通常运用对数的运算性质,先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算,然后再进行对数运算;若不是同底数对数,则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算. 例3 (1)已知,,试用,表示. (2)设,求的值. 解:(1)由,得. 又,则. (2)由,得,, 由换底公式得,, ∴. 总结:(1)用已知对数表示其他对数的思路: ①统一底数:巧用换底公式,灵活“换底”是解决这种问题的关键; ②分拆代换:结合对数运算法则,把所求向已知条件靠拢,巧妙代换求值. (2)指数式的连等式求值方法: 第一步:可令连等式等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示; 第二步:由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数; 第三步:运用对数的运算性质化简求值. 四、课堂练习 1.计算:(1);(2); (3);(4). 2.分别计算下列各式,你能得出什么结论? (1);(2);(3). 3.求证:. 4.设0,0,0且,,利用对数的换底公式证明: (1);(2). 5.设,是正数,且,求的值. 参考答案:1.(1); (2); (3); (4). 2.(1); (2)); (3); 通过观察得出结论:. 3.原式左边,右边,所以原式成立. 4.(1); (2). 5.因为0,0,,所以. 因为,所以,即, 所以,所以. 五、课堂小结 换底公式:一般地,若,,,且,,则. 六、布置作业 教材第104页习题4-2A 组第6-7题. 学科网(北京)股份有限公司 $$