3.3.1 指数函数(1)教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章 指数运算与指数函数 3.3.1 指数函数的概念 3.3.2 指数函数的图象和性质(1) · 教学目标 1．理解指数函数的概念、图象和性质． 2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法． · 教学重难点 · 重点：指数函数的概念和性质． 难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小． · 教学过程 1、 新课导入 情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”这句话告诉我们什么道理呢? 假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样?两年后、三年后会怎样?怎么计算? 答案：一天后是1.01，两天后是，三天后是，一年后是． 我们用变量x表示天数，那么你获取的知识量y与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢? 答案：． 假设知识的减少量也按照每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么? 答案：． 计算一下，一个月你减少了多少?一年后你还剩下多少? 答案：一个月30天减少了，一年365天后还剩下． 情境2．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”你能用一个函数来描述它吗? 答案：． 二、新知探究 问题1：上述三个函数有何共同特征? 答案：以上三个函数都可以写成的形式． 问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗? 答案：一般地，我们把形如()的函数叫作指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R． 问题3：请同学们想一想，为何规定? 答案：若则有些函数在实数范围内没有意义，比如，当此时函数为无意义；当a=1时，函数值永远都等于1，研究这样的固定不变量没有价值． 问题4：如何讨论一个函数的性质，用什么方法?从什么角度? 答案：华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们需要结合函数图象，利用数形结合法研究函数的性质． 问题5：指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢?首先让我们研究一下底数大于1的情形． 学生活动： 探究1．请同学们自己按照列表、描点、连线的步骤，借用所给的部分数据，先分别画出函数的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较． （给出部分数据，便于学生进行描点．投影学生所作的图象，增强学生学习的信心．） 实例分析：先分析一个具体的指数函数． 列表、描点、连线，画出函数的图象 x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 4 8 从图象可以看出： 函数的图象位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷． 由此得到函数的性质：函数在R上是增函数，且值域是(0，)． 再分析函数列表、描点﹑连线，画出函数的图象． x -2 -1 0 1 2 1 3 9 从图象可以看出： 函数的图象也是位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷． 由此得到函数的性质：函数y=3在R上是增函数，且值域是(0，+oo)． 由此可见函数与的性质是完全一样的．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可以看出： 在y轴左侧，函数的图象在函数的图象下方；在y轴右侧，函数的图象在函数的图象上方． 探究2． 当时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢?是上升的还是下降的呢? 用几何画板动态演示，观察随着的变化图象的变化趋势． 得出结论：当底数时，指数函数的图象从左向右看是上升的，而且底数越大，图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴． 对于函数和： 当时，； 当时，； 当时，． 探究3．你能根据函数图象写出指数函数的性质吗?小组进行讨论． 学生观察图象得出性质如下表： a的范围 图象 定义域 （左、右无限延伸）R 值域 （在x轴上方）(0，) 图象上的点 都过定点（0，1），即当时， 单调性 (从左向右上升)在R上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，y值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，y值趋近于0 三、应用举例 例1指出下列函数中，哪些是指数函数? （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 答案：(2)(6)是指数函数，其余均不满足()这种形式． 设计意图：熟练掌握指数函数的解析式，理解指数函数的概念． 例2比较下列各题中两个值的大小； （1）；（2），；（3），. 答案：(1)因为函数在R上是增函数，且0.80.7，所以； (2)因为函数在R上是增函数，且，所以； (3)因为函数在R上是增函数，且0.30，所以； 因为