2023-2024学年七年级数学上学期极速16招 -第14招 分类讨论思想在解题中的巧用

第14招 分类讨论思想在解题中的巧用 例 典 例 剖 析 已知线段AB＝10 cm，直线AB上有一点C，且BC＝ 2 cm，点D是线段AB的中点，求线段DC的长． 解题秘方：由于点C在直线AB上的位置不确定，因此在画图时，分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况讨论． 2 方法点拨：当题目中没有明确点的位置时，应该全面考虑，防止漏解．本题由于点C的位置不确定，所以要运用分类讨论思想进行讨论． 5 应用 1 分类讨论思想在判断整式符号中的应用 分 类 训 练 1．|a|＋a的值一定(　　) A．大于零　　　　　　B．小于零 C．不大于零 D．不小于零 【点拨】 【答案】D 当a＞0时，|a|＋a＞0；当a≤0时，|a|＋a＝0.所以|a|＋a≥0. 应用 2 分类讨论思想在解方程中的应用 2．已知|x－6|＝3，求x的值． 解：因为|x－6|＝3， 所以x－6＝±3. ①当x－6＝3时，x＝9. ②当x－6＝－3时，x＝3. 所以x＝3或x＝9. 3．试比较1＋a与1－a的大小． 应用 3 分类讨论思想在比较大小中的应用 解：(1＋a)－(1－a)＝2a. 分类讨论： 当a＞0时，2a＞0，即(1＋a)－(1－a)＞0，即1＋a＞1－a. 当a＝0时，2a＝0，即(1＋a)－(1－a)＝0，即1＋a＝1－a. 当a＜0时，2a＜0，即(1＋a)－(1－a)＜0，即1＋a＜1－a. 4．(1)当a＞0时，a________－a； 当a＝0时，a________－a； 当a＜0时，a________－a. ＞ ＝ ＜ 【点方法】 本题运用了分类讨论思想，分a＜－1，－1＜ a＜ 0，0＜a＜1，a＞ 1，|a|＝1五种情况讨论． 应用 4 分类讨论思想在化简绝对值中的应用 5．化简|a－1|＋|a＋1|＋|a－3|. 解：①当a＜－1时， 原式＝(－a＋1)＋(－a－1)＋(－a＋3) ＝－3a＋3. ②当－1≤a＜1时， 原式＝(－a＋1)＋(a＋1)＋(－a＋3) ＝－a＋5. ③当1≤a＜3时， 原式＝(a－1)＋(a＋1)＋(－a＋3)＝a＋3. ④当a≥3时， 原式＝(a－1)＋(a＋1)＋(a－3)＝3a－3. 【点易错】 此题考查绝对值化简问题，此类问题需考虑绝对值符号中式子的值是大于0 ，等于0，还是小于0.分类讨论是解决此类问题的关键． 应用 5 分类讨论思想在求线段长度中的应用 6．已知线段AB长为6 cm，点C在直线AB上，且AC＝2 cm，求BC的长度． 解：分两种情况讨论． 如图①，当点C在线段AB上时，BC＝AB－AC＝6－2＝4(cm)． 如图②，当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB＋ AC＝6＋2＝8(cm)． 所以BC的长度为4 cm或8 cm. 应用 6 分类讨论思想在求角度中的应用 7．已知射线OP是∠MON的平分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，且∠MON＝72°，求∠POQ的度数． 应用 7 分类讨论思想在解决实际问题中的应用 8．在一条直的长河中有甲、乙两艘船，现同时从A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即逆流而上到C地执行任务，甲船继续顺流航行．已知甲、乙两船在静水中的速度都是每时7千米，水流的速度是每时2千米，A，C两地间的距离为13千米．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了3时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？ 解：设乙船由B地航行到C地用了x时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(3－x)时．分两种情况讨论： ①若C地在A，B两地之间，则根据题意，得 (3－x)(7＋2)－x(7－2)＝13， 解得x＝1. (7＋2)×1＝9(千米)． 【点方法】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分C地在A，B两地之间和C地在A地的上游两种情况进行讨论． 解：分两种情况讨论： (1)当点C在线段AB的延长线上时，如图①. 因为点D是线段AB的中点， 所以BD＝AB＝×10＝5(cm)， 所以DC＝DB＋BC＝5＋2＝7(cm)． (2)当点C在线段AB上时，如图②. 因为点D是线段AB的中点， 所以BD＝AB＝×10＝5(cm)， 所以DC＝DB－BC＝5－2＝3(cm)． 综上，线段DC的长为7 cm或 3 cm . (2)请用(1)中的方法比较a和的大小关系． 解：由题可知a≠0.当a＞1时，a＞； 当|a|＝1时，a＝； 当0＜a＜1时，a＜； 当－1＜a＜0时，a＞； 当a＜－1时，a＜. 解：因为OP平分∠MON，∠MON＝72°， 所以∠MOP＝∠MON＝36°. 分两种情况讨论： ①当∠MOQ＝∠MOP时，如图①， 因为∠MOP＝36°，