2023-2024学年七年级数学上学期极速16招 -第12招 几何计数的常见类型

第12招 几何计数的常见类型 类型 1 按顺序计数问题 分 类 训 练 1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； (2)如图②，直线l上有3个点，则图中有______条可用图中字母表示的射线，有______条线段； 4 3 【点拨】 射线有：A1A2，A2A3，A2A1，A3A1共4条，线段有A1A2，A1A3，A2A3共3条． (3)如图③，直线l上有n个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段； 【点拨】 2(n－1) (4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两个班之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛． 【点拨】 15 类型 2 平面内直线相交所得交点与平面的计数问题 2．为了探究同一平面内的n条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分，我们从最简单的情形入手，如图所示． 列表如下： 直线条数 最多交点的个数 把平面最多分 成的部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为__________________． (2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． 10 1＋2＋3＋4 16 1＋1＋2＋3＋4＋5 45 56 (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点． 以角的顶点A为端点： 类型 3 有关角的个数的计数问题 (1)如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ 解：如题图①，已知∠BAC，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC的两条边都组成1个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角． (2)如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ 解：题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中原来的三条射线再组成3个角，即题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角． (3)如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ 解：如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中原来的四条射线再组成4个角，即题图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角． (4)在角的内部作n条射线，那么一共有几个角？ 【点方法】 找角或数角的个数的方法： 1. 顺序寻找法：将最外面的一条射线作为“始边”，然后按顺时针或逆时针的顺序寻找构成角的另一边，直至“找”完为止； 2. 类比法：类比数线段的条数的方法数角的个数． 15 根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个点只用一次，n为线上的点数，代入可得(2n－2)；线段是从所有点中任取两个，但第一个和最后一个点不能组成线段，代入可得. 假设6个班为一条线上的6个点，则计算线上的线段数，代入公式即可求得结果为＝15. 解：当直线条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋ (n－1)＝(个)交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝ 部分． 解：如果在一个角的内部作n条射线，则共有 1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝(个)角． $$