2023-2024学年华东师大版数学九年级上学期讲义 21.1.1 二次根式

21.1.1 二次根式 知识梳理 知识点01 二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 考点诠释： 　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点02 二次根式的性质 1.≥0，（≥0）； 2. （≥0）； 3.. 4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即（≥0，>0）. 考点诠释： （1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. （2）与要注意区别与联系： ①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 ②≥0时，==；<0时，无意义，=. 知识点03 最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 考点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 基础训练 一、单选题 1．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中二次根式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．使有意义的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．无论取何值，下列各式中一定有意义的是(　　) A． B． C． D． 4．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是 A． B． C． D． 5．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　） A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4 6．若有意义，则x的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 7．若有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（               ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 8．若是二次根式，则必须满足的条件是________. 9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10．如果是二次根式，那么应满足的条件是______________． 11．若有意义，则能取的最大整数值是________． 12．式子有意义的条件是__________． 13．已知，则的值为________． 14．若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 15．若等式成立，则的取值范围是____________． 三、解答题 16．下列各式：，，，，，，，，，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ ． 17．当的取值满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)；　　　(2)； (3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1.1 二次根式 知识梳理 知识点01 二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 考点诠释： 　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点02 二次根式的性质 1.≥0，（≥0）； 2. （≥0）； 3.. 4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即（≥0，>0）. 考点诠释： （1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. （2）与要注意区别与联系： ①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 ②≥0时，==；<0时，无意义，=. 知识点03 最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 考点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 基础训练 一、单选题 1．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中二次根式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，依次判断即可． 【详解】①＞0，则是二次根式；②当x＜0时，2x＜0，则不是二次根式；③≥0，则是二次根式；④-5＜0，则不是二次根式；⑤是三次根式；正确的有2个，故选B. 【点睛】本题考查了二次根式定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2． 2．使有意义的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：根据被开方数是非负数，可得答案． 详解：由题意，得 x-3≥0， 解得x≥3， 故选C． 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键． 3．无论取何值，下列各式中一定有意义的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数，依