热点专题10 三角恒等变换及三角函数应用-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题10三角恒等变换及三角函数应用 知识点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点二、二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点三、公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 知识点四、三角函数模型 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 用函数模型解决实际问题的一般步骤： 审题→建模→求解→换原 ①审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. ②建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. ③求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. ④还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 题型一 两角和差公式的应用 【例1】（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，，则 ． 【变式1-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 二倍角公式的应用 【例3】已知，则（　　） A． B． C． D． 【例4】已知角终边上有一点，则 . 【变式2-1】求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 【变式2-2】已知，求的值． 【变式2-3】求值：．（余弦值连乘形式） 题型三 降幂公式的化简求值 【例5】已知，且满足，求：的值 【例6】已知，求的值． 【变式3-1】已知，．求 （）； （）的值． 【变式3-2】求函数的最小正周期和最大值. 【变式3-3】已知函数. （1）求的值； （2）求的最大值和最小值. 题型四 辅助角公式的应用 【例7】若，则（    ） A． B． C． D． 【例8】若，，如果对于，为假命题且为真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】函数的单调减区间为 ． 【变式4-2】已知，则的值域为 . 【变式4-3】求函数的最小正周期． 题型五 给值求值（角）问题 【例9】已知 则 （    ） A． B． C． D． 【例10】已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，，，，则 . 【变式5-2】已知，，，则 ． 【变式5-3】已知. (1)若，求的值. (2)若，，且，求的值. 题型六 利用恒等变换判断三角形形状 【例11】在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【例12】在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】在中，若，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式6-3】在中，已知，试判断的形状． 题型七 恒等变换与三角函数性质的综合应用 【例13】已知（）． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的最小值为，求的对称中心． 【例14】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)存在，有，求m的取值范围． 【变式7-1】已知函数图象的一条对称轴方程为， (1)求的最小正周期； (2)求在上的值域. 【变式7-2】定义域为R的函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围. 【变式7-3】已知函数在区间上的最大值为2． (1)求m； (2)若函数，当时，求的最小值，以及相应x的集合． 题型八 三角函数与物理学 【例15】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（    ） A． B．π C． D．2π 【例16】（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（    ）    A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 【变式8-1】主动降噪耳机工作的