5.5.1.1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1.1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 高一上学期 1 观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系， 如果把特殊角换成任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？ 思考：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？ 探究1：已知任意角的正弦、余弦，探究的三角值与其的关系？ 不妨令 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点 以轴非负半轴为始边作角，， 它们的终边分别与单位圆相交于点 容易得到 新知探究 根据两点间的距离公式，得： 化简得：. 探究1：已知任意角的正弦、余弦，探究的三角值与其的关系？ 两角差的余弦公式： ， 当时，上式仍然成立. 新知探究 例1：利用公式证明. (1); (2). 证明：(1) (2) 典例精析 例2：已知是第三象限角，求的值. 解：由，，得 又由，是第三象限角， 得 所以. 典例精析 教材P217 探究2：已知任意角的正弦、余弦，探究与其有何关系？ 两角差的余弦公式： . 两角和的余弦公式： 新知探究 探究3：已知任意角的正弦、余弦，探究与其有何关系？ 用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化. 两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式： 两角和的正弦公式： 两角差的正弦公式： 新知探究 探究3：已知任意角的正弦、余弦，探究与其有何关系？ 用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化. 两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式： 两角差的正弦公式： 两角和的正弦公式： 新知探究 探究4：你能根据正切函数与正、余弦函数的关系，从，出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？ 因为， 所以有： . (同除以“”) 两角和的正切公式： 两角差的正切公式： 新知探究 两角和的正切公式： 两角差的正切公式： 两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式： 两角和的正弦公式： 两角差的正弦公式： 一、和角公式 二、差角公式 新知生成 例3：已知是第四象限角，求， 的值. 解：由，是第四象限角，得 所以 于是有 变式：若去掉是第四象限角，结果有何变化？ 新知生成 思考：由以上解答可以看到，在本题条件下有 那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 两角和、差的正、余弦公式 诱导公式 新知生成 教材P220 教材P220 P229 例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值： (1) (2) (3) 解：(1)由公式，得： (2)由公式，得： 新知生成 解：(3)由公式及得： (3) 新知生成 教材P220 教材P220 A 复习回顾 教材P220 解：(1)原式 解：(1)原式 解：(2)原式 解：(2)原式 典例精析 典例精析 归纳总结 平方和为1 归纳总结 教材P228 典例精析 P229 (法1) (法2) 方法：用已知角表示未知角 (法1) (法2) (法1) (法2) (法3) 讨论 P229 C为钝角？ C为锐角？ 变式：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝(　 　) A．222 B．223 C．211 D．212 常用变式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1． 练习：在△ABC中，若tanA tanB＝tanA＋tanB＋1，则cos C＝________． eq \f(\r(2),2) 解析： 由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1， 可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－1，即tan(A＋B)＝－1， 又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cos C＝eq \f(\r(2),2)． 解析：由结论1知tan 1°＋tan 44°＝1－ta