5.4.3 正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 高一上学期 1 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 学习目标 思考1：根据前面所学经验，你认为可以如何研究函数的图象与性质？ 思考2：研究正弦函数、余弦函数之后你积累了哪些画图象的方法经验？ 定义 图象 性质 借助单位圆平移正弦线 诱导公式平移函数图象 画函数图象 五点作图法画简图 列表、描点、连线 追问1：你能从定义入手得到正切函数的哪些性质？ 由诱导公式，且， 正切函数是周期函数，周期是 由诱导公式， 正切函数是奇函数 周期性 奇偶性 追问2：我们可以如何研究出正切函数的图象？ 可以先考察函数的图象与性质， 然后再根据奇偶性、周期性进行拓展 追问3：如何画出的图象？ 如图，设角的终边与单位圆的交点 过点作轴的垂线，垂足为； 过点作轴的垂线与角的终边交于点， 则 A T 0 X Y 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值. 我们可以利用线段画出函数的图象，如图所示. x y 1 -1 一、正切函数的图象： 正切曲线 它是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 二、正切函数的性质： 1、周期性：周期是 2、奇偶性：奇函数 3、单调性： 增区间： 减区间：无 无最值 5、对称性： 对称中心： 对称轴：无 4、值域：R 辨析1：判断正误. (1)正切函数的值域是R. （ ） (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心. （ ） (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 （ ） (4)正切函数在定义域上单调递增. （ ） √ √ × × 例题：求函数的定义域、周期、对称中心及单调区间. 解：自变量的取值应满足即 所以，函数的定义域是. 设，又所以 即. 因为都有， 所以，函数的周期为2. 例题：求函数的定义域、周期、对称中心及单调区间. 解：令 所以对称中心为 由解得 因此，函数的单调增区间为：，无单调减区间. 变式1：求函数的定义域、周期、对称中心及单调区间. BC 教材P213 练习：求下列函数的定义域： (1) (2) . 教材P213 D 教材P213 Lavf58.46.101 变式2：下列关于函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3))) 的说法正确的是(　　) A．在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(π,12))) 上单调递增 B．最小正周期是 eq \f(π,2) C．图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) 成中心对称 D．图象关于直线x＝－ eq \f(π,12) 成轴对称 解：y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3))) ＝－tan (2x－ eq \f(π,3) )，令－ eq \f(π,2) ＋kπ<2x－ eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，得－ eq \f(π,12) ＋ eq \f(kπ,2) <x< eq \f(5π,12) ＋ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，∴k＝－1时，－ eq \f(7π,12) <x<－ eq \f(π,12) ， ∴y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3))) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(π,12))) 上单调递减，A错误； 由上知，最小正周期为T＝ eq \f(π,2) ，B正确； 当x＝ eq \f(5π,12) 时，2x－ eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ，∴y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3))) 关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) 中心对称，C正确；由正切函数的性质知，正切函数无对称轴，D错误．故选B、C. 解析：f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，为偶函数，T＝ eq \f(π,2) . 变式：函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) 周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为 eq \f(π,2) 的奇函数 D．周期为 eq