圆锥曲线中的同构在解答题中的应用 讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的同构与韦达定理 圆锥曲线中的直线同构形式: 例如:已知直线上两点，，且满足，， 则可知直线. 圆锥曲线中的一元二次方程同构: 例如直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，故，整理可得关于的一元二次方程， ， 我们知道切线一般有两条，设这两条直线的斜率存在且为， 则可用韦达定理得到，. 类型一 同构求直线 例1.（2010·重庆·高考真题）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率． （I）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （II）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与、两点，求的面积． 例2.（2019·全国·统考高考真题）已知曲线：=，为直线=上的动点，过作的两条切线，切点分别为，. （1）证明：直线过定点： （2）若以(0，)为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积. 例3.（2022下·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点. (1)当直线的斜率为1时，求弦的长度； (2)在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接，分别交抛物线E于另外两点C、D，使得且？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 例4.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 例5.（2021·全国·统考高考真题）抛物线的顶点为坐标原点．焦点在轴上，直线：交于，两点，且．已知点，且与相切． （1）求，的方程； （2）设是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 类型二 同构为一元二次方程，利用韦达定理求解 例1.（2022·山东潍坊·统考一模）已知椭圆的焦距为2，点在上. (1)求的方程； (2)若过动点的两条直线，均与相切，且，的斜率之积为-1，点，问是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例2.（2020下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过原点作圆的两条切线，切点分别为，圆心的轨迹为. （1）若为钝角，求四边形的面积的取值范围； （2）设与的斜率分别为，且，与交轨迹于，求的值. 例3.（2023·四川南充·统考一模）已知点是焦点为的抛物线：上一点． (1)求抛物线的方程； (2)设点是该抛物线上一动点，点，是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方程为，求面积的最小值． 例4.（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线，圆，F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为． (1)求抛物线E的方程； (2)已知A，B，C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线，与圆M相交所得的弦长均为3，直线与直线垂直，求A的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线中的同构与韦达定理 圆锥曲线中的直线同构形式: 例如:已知直线上两点，，且满足，， 则可知直线. 圆锥曲线中的一元二次方程同构: 例如直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，故，整理可得关于的一元二次方程， ， 我们知道切线一般有两条，设这两条直线的斜率存在且为， 则可用韦达定理得到，. 类型一 同构求直线 例1.（2010·重庆·高考真题）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率． （I）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （II）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与、两点，求的面积． 【答案】（I）双曲线的标准方程为，其渐近线方程为 （II）的面积为. 【详解】（I）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，，因此， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. （II）设点，由于点在直线和上， 故，，所以直线的方程为， ，而直线与两条渐近线分别交与、两点， 由方程组，， 可解得，， 设直线与轴的交点为，则， 由于在双曲线上，，即， 所以. 例2.（2019·全国·统考高考真题）已知曲线：=，为直线=上的动点，过作的两条切线，切点分别为，. （1）证明：直线过定点： （2）若以(0，)为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【详解】(1)证明：设,,则． 又因为，所以.则切线DA的斜率为， 故，整理得. 设，同理得. ,都满足直线方程. 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2） [方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设的中点为G，,则，，． 由，得， 将代入上式并整理得， 因为，所以或． 由（1）知，所以轴， 则 （设）． 当时，，即； 当时，， 即，．