圆锥曲线中的性质与结论在解答题中的应用 讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线解答题中常用的性质 椭圆: ①点差法:求中点弦相关的直线的斜率 ②第二定义(焦半径):化简与焦点有关的线段表达式 ③第三定义:一条直线的斜率表示另一条相关直线的斜率 双曲线: ①第三定义:一条直线的斜率表示另一条相关直线的斜率 ②渐近线:与渐近线有关的面积定值，中点所在的直线方程 抛物线: ①焦点弦:利用定义表示焦点弦的长度 ②两点的斜率:设抛物线:，，，则① 由于点在抛物线上，，则，，代入①中， . 同理，若抛物线为:，，，. ③两点的坐标关系:设抛物线:，直线，直线与抛物线交于 ，，联立，可得， 所以，即交点坐标的乘积与直线与轴的交点的横坐标相关. 我们可以利用这个关系做变量代换. ④阿基米德三角形:动点在定直线上，动点在准线上 题型一 椭圆中点弦与第二定义(焦半径)的应用 例1.（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 例2.（2022·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 例3.（2023·山东·模拟预测）人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线，定义千米为. (1)以为单位，求曲线的方程； (2)已知三颗卫星在轨道上运行，当轨道中心恰好为的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当三颗卫星成“三星对中”状态时，的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由. 例4.（2022上·浙江·高三校联考开学考试）已知椭圆过点，且以长轴和短轴为对角线的四边形面积为. (1)求的方程； (2)已知椭圆，在椭圆上任取三点，是否存在使得与椭圆相切于三角形三边的中点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 例5.（2021·河北邯郸·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过的直线与交于，两点，若，求． 例6.已知椭圆的离心率为，且左、右焦点分别是，直线过且与轴垂直，动直线垂直于，垂足为，的垂直平分线交于点，设点的轨迹为，与在第一象限交于点，已知． （1）求与的方程； （2）为坐标原点，取上点，以为直径作圆与交于点（异于），求的取值范围． 题型二 椭圆第三定义的应用 例1. (椭圆第三定义的应用)（2021上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆：过点，其左､右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线. 例2.（2021下·湖南永州·高三永州市第四中学校考阶段练习）已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足． （1）若与x轴重合．．试求椭圆的方程： （2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由． 例3.（2022下·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，上顶点为，左焦点为，且直线与圆相切. (1)求椭圆的方程 (2)是椭圆长轴两个端点，点是异于点的动点，点满足，求证：三角形面积与三角形面积之比为定值. 例4.（2022上·重庆·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为，，的斜率均存在且乘积为，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)若点在曲线上，过点且垂直于的直线交于另一点，点关于原点的对称点为.直线交轴于点，求的最大值. 例5.（2019·全国·高考真题）已知点(−2,0)，(2,0)，动点(x,y)满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，⊥轴，垂足为，连结并延长交于点. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 题型三 双曲线中性质的应用 例1.（2021·河北保定·统考二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和. （1）求四边形的面积； （2）若对于更一般的双曲线，点