专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题05 等比数列与数列综合求和 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 4 【重点保分一】等比数列定义 4 【重点保分二】等比中项及应用 7 【重点保分三】等比数列下标和性质 10 【重点保分四】等比数列子数列问题 13 【重点保分五】等比数列函数特征 16 【重点保分六】等比数列前项和基本计算 21 【难点增分】 25 【难点增分一】等比数列片段和性质 25 【难点增分二】等比数列奇、偶项和的性质及应用 30 【难点增分三】分组（并项）求和 34 【培优满分】 39 【培优满分一】裂项相消求和 39 【培优满分二】错位相减求和 45 【培优满分三】数列不等式能（恒）成立问题 53 【技巧总结】 59 【单元检测】 62 知识梳理 1.等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 2.等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列. (2)结论：G叫做a，b的等比中项. (3)满足的关系式：G2＝ab. 3.等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 4.等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点. 5.等比数列的判定与证明 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2). (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 6.等比数列通项公式的推广 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*). 7.“子数列”性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk. 8.等比数列的常用性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al. (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列. (4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. (5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…. 9.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 10.等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 11.错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法. 12.等比数列前n项和的相关性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)，S奇＝a1＋qS偶. 重点保分 【重点保分一】等比数列定义 【典例精讲】（多选）（2022上·山东潍坊·高三统考期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 一、单选题 1．（2022下·辽宁大连·高二辽师大附中校考阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（    ） A．420只 B．520