2024年中考数学一轮复习第27讲　尺规作图

第七章　图形的变形 第27讲　尺规作图 1．(2023·通辽)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2， (1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径 作弧，两弧相交于P，Q两点； (2)作直线PQ，交AB于点O； (3)以O为圆心，OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆. 下列不属于该尺规作图依据的是(　　) A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D 2．(2023·成都)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′； ③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC于点E. 若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，则 的值为__． (2)若OB＝2，求AB的长． 解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝2BC． ∵AO＝BC， ∴AC＝2AO. ∴OC＝AO，即点O为AC的中点． ∵OB＝2， ∴AC＝2OB＝4.∴BC＝2. 3．(2023·广西)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°. (1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 解：如图所示，线段AO即为所求． 答图 (2)在(1)作图中，若E是AD的中点， 求证：△ABE≌△DFE. 证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠ADF＝90°. ∴△ABE≌△DFE(ASA)． 4．如图，四边形ABCD是矩形． (1)求作∠ABC的平分线，交AD于点E，交CD的延长线于点F； 解：如图所示，BF即为所求． 答图 (2)在(1)所作的图形中，连接DC，试说明∠ADC＝2∠B. 证明：由(1)得DE⊥AC， ∴∠AED＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB.∴DE∥BC． ∴∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠DCB. ∵DA＝DC，DE⊥AC， ∴∠ADE＝∠EDC．∴∠B＝∠DCB. ∴∠ADC＝∠B＋∠DCB＝2∠B. 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°. (1)在AB边上求作点D，使得DA＝DC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示，点D即为所求． 答图 6．(2023·武威)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题： 如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹) ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取 ②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分． 解：如图，点G，D，H即为所求． 答图 7．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°. (1)尺规作图：过点C作CE⊥AD，交AD于点E；(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接BE，若tan∠AEB＝ ，CD＝6，求▱ABCD的面积． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC．∴∠EBC＝∠AEB. (1)答图 解：（1）如图所示. (2)在(1)所作的▱ABCD中，连接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的长． 解：设AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC＝4，OB＝OD． ∵∠BAC＝90°，AB＝3， ∴BD＝2OB＝10. 8．如图，已知△ABC． (1)利用尺规作图法作▱ABCD；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，▱ABCD即为所求．(作法不唯一) 答图 9．(2023·济宁)如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)作线段BD的垂直平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)； 解：如图，直线MN即为所求． 答图 (2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF. ①判断四边形BEDF的形状，并说明理由； ②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长． 解：①四边形BEDF是菱形．理由如下： 由作图可知OB＝OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC．∴