2024年中考数学一轮复习第23讲　与圆有关的位置关系

第六章　圆 第23讲　与圆有关的位置关系 1．(2023·黑龙江)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝____°. 2．(2023·重庆)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为______． 34 40° 3．(2023·浙江)如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D 在 上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是______． 4．(2023·眉山)如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为______． 65° 40° 5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB. 证明：如图，连接OC． ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴OC//AD． ∴∠1＝∠2. ∵OC＝OA，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴AC平分∠DAB. 答图 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在∠ABC的平分线上，以点O为圆心，OC为半径作⊙O.求证：AB与⊙O相切． 证明：如图，过点O作OG⊥AB于点G. ∵BO平分∠CBA，OC⊥BC，OG⊥AB， ∴OC＝OG. ∴OG为⊙O半径． ∴AB与⊙O相切． 答图 7．(2023·烟台)如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为____． 24 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，连接BD，若∠CBD＝∠CAB.求证：BD是⊙O的切线． 证明：连接OD． ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA． ∵∠CAB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ODA． ∵∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°. ∴∠ODA＋∠CDB＝90°. ∴∠ODB＝90°.∴OD⊥BD． ∵OD是⊙O的半径， ∴BD为⊙O的切线． 答图 9．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求BC的长及⊙O的半径． 解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G 三点， ∵AB//CD， ∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， 如图，连接OF. ∵BC是⊙O的切线， ∴OF⊥BC． 答图 即6×8＝10OF， 10．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； 解：∵OA＝OC＝1，CO⊥AB，∠D＝30°， 10．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE.求证：CE⊥AB. 证明：∵DC与⊙O相切， ∴OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC． ∵∠ACD＝∠ACE， ∴∠OAC＋∠ACE＝90°.∴∠AEC＝90°， 即CE⊥AB. 11．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，⊙O的半径为r.试用含a，b，c的代数式表示r. 小亮的思路： 解：连接OD，OE. ∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BF，AF＝AE，且OD⊥BC，OE⊥AC．易证四边形ODCE为正方形． ∴DC＝CE＝r. 核心素养：几何直观、推理能力、模型观念 ∵DC＋CE＝(BC－BD)＋(AC－AE) ＝BC＋AC－(BD＋AE)＝BC＋AC－(BF＋AF)＝BC＋AC－AB， 小丽的思路是分别连接AO，BO和CO，把△ABC分割成3个小三角形：△AOB，△BOC和△COA，利用这3个小三角形的面积之和等于△ABC的面积求出r. (1)尝试按照小丽的思路求出r； 解：分别连接OA，OB，OC，OD，OE，OF. ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点， ∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF. ∴S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＋S△AOB 答图 (2)对于小亮和小丽的解法，正确的判断是____； A．两人都正确 B．两人都错误 C．小亮正确，小丽错误 D．小亮错误，小丽正确 A 11．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，