2024年中考数学一轮复习第21讲　正方形

第五章　特殊四边形 第21讲　正方形 1．某数学兴趣活动小组用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形模具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为8 cm，改变模具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的对角线长为___cm. 2．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为____． 3．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF.求证：四边形ADFE是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°. 由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°. ∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°. ∴四边形AEFD是矩形． ∵AD＝DF， ∴四边形AEFD是正方形． 4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°， ∠COD＝∠DOF＋∠COF＝90°. ∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF.∴△COE≌△DOF(ASA)． ∴CE＝DF. 5．(2023·湘潭)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(见图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为___dm2. 2 6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于点D，BD＝6，DC＝4，求AD 的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题： (1)分别以AB，AC 所在直线为对称轴，画出△ABD 和 △ACD 的对称图形，点D 的对称点分别为点E，F，延长 EB 和FC 相交于点G，求证：四边形AEGF 是正方形； 证明：由题意可得 △ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF. ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC． ∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°. 又∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°. ∴四边形AEGF 是矩形． 又∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF. ∴矩形AEGF 是正方形． (2)设AD＝x，建立关于x 的方程模型，求出AD 的长． 解：由题意可知AE＝EG＝GF＝AD＝x. ∵BD＝6，DC＝4， ∴BE＝6，CF＝4，BC＝10. ∴BG＝x－6，CG＝x－4. 在Rt△BGC 中，BG2＋CG2＝BC2. 即(x－6)2＋(x－4)2＝102， 解得x1＝12，x2＝－2(舍去)． ∴AD＝12. 6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于点D，BD＝6，DC＝4，求AD 的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题： 7．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG； 证明：在正方形ABCD中， AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°. ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°. ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)． 7．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG. (2)求BG的长． 解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG＝FG＝x，则GC＝6－x. ∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3. ∴EG＝3＋x. 在Rt△CEG中，CE2＋GC2＝EG2， 即32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2. ∴BG＝2. 8．(2023·徐州节选)如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. (1)求y关于x的函数表达式； 解：∵正方形ABCD的边长为4，AE＝x，4个直角三角形全等， ∴∠AHE＝∠BEF，EH＝HG＝GF＝EF，EB＝AH＝4－x. ∵∠AHE＋∠AEH ＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°. ∴∠HEF＝90°. ∴四边形EFGH为正方形． 在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16. ∴y关于x的表达式为y＝2x2－8x＋16. 8．(2023·徐州节选)如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的