第4节 数列求和（第1课时）导学案——2024届高三数学一轮复习

肥城二中 2023-2024学年上学期 学科 数学 编号 24 命制人： 审核人： 时间 月 日 班级 姓名 第4节　数列求和（第一课时） 【学习目标】 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 2．掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法之错位相减法 【课前案】 一、知识梳理： 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. [常用结论] 1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2.12＋22＋…＋n2＝. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.(　　) 答案　(1)√　(2)×　 解析　(2)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解. 2. 数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和为________. 答案　22·220－2 解析　S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220， 两式相减，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23·220＝4＋－23·220＝－22·220＋2. 故S20＝22·220－2. 【课中案】 【导入设计】 检查基础知识和自测题的掌握情况 考点　错位相减法求和 例 (12分)(2021·全国乙卷改编)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和，求Sn和Tn. [思路分析]　(1)设出数列{an}的公比，根据a1，3a2，9a3成等差数列列出方程求出公比，可得an，bn； (2)根据数列{an}、{bn}通项公式的特征，利用等比数列的求和公式求Sn，利用错位相减法求Tn. [规范解答]　解　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1. 因为a1，3a2，9a3成等差数列， 所以6a2＝a1＋9a3， 所以(2分) → 即9q2－6q＋1＝0，解得q＝， 故an＝，bn＝②.(4分) → (2)由(1)知Sn＝＝，(6分) Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋④，(8分)② → ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝－③，(10分) → 整理得Tn＝－③.(12分) → [满分规则] ❶得步骤分： ①处据条件列出方程组即可得2分，④处有错位相减求和的意识，即使后续计算错误，也可得2分. ❷得关键分： ②处正确求出数列的通项公式是求出Sn，Tn的基础，此处出错，最多得2分. ❸得计算分： ③处都需要准确的计算，否则此步不得分，这也正是错位相减法的难点所在. 训练 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q. 由a1＝2，S3＝a3＋6， 得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2， 解得q＝2， 所以an＝2n. (2)由(1)可得bn＝log2an＝n， 所以anbn＝n·2n， Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1， 所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2. 【达标训练】 (2023·葫芦岛质检)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由数列{an}为等比数列，设其公比为q， 由a5－a3＝12，a6－a4＝24， 可得＝＝，解得q＝2， 将q＝2代入a5－a3＝12， 得a1×24－a1×22＝12，解得a1＝1， 所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1， 所以＝. 【课后案】 (2023·临沂模拟)在①＝，②an＋1an＝2Sn，③a＋an＝2Sn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，满足________. (1)求an； (2)若bn＝(an＋1)·2