期末专项压轴题复习：证明题2023—2024学年人教版数学九年级上册

2023—2024学年人教版数学九年级上册期末专项压轴题复习：证明题 1．在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2．（探索发现）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． (1)线段之间的数量关系是 ． (2)根据（1）的结论，写出证明过程； (3)如图，如果正方形的边长是4，求的周长． 3．综合与实践 问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形． 猜想证明： (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________． (2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究： (3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由． 4．阅读与理解：如图1，等边（边长为a）按如图所示方式设置．操作与证明： (1)操作：固定等边（边长为b)，将绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系． (2)操作：若将图1中的，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点M，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论． (3)根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？ 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，抛物线经过点，，且与轴的另一个交点为，．    (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接． ①求证：． ②是第一象限内抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧，，且交于点，连接，，，求四边形面积的最大值． 6．已知，在中，，点为边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接． (1)如图，当时， ①求证：； ②当的周长取最小值为时，求的周长； (2) 如图，当，时，若，求的值． 7．问题背景：（1）如图1，在等腰中，D为边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，判断与的数量与位置关系，并证明； 尝试运用：（2）如图2，在中，D为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接，求证：； 拓展提升：（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长______________________．    8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标； (3)如图2，若点D是线段的下方抛物线上一点，过点D作于点E，求的最大值． 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上任意一点，连接． (1)求这个抛物线与直线解析式； (2)如图1，如果点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，过点P与点B作直线，交直线与点Q，是否存在一点P，使得，存在直接写出点P的横坐标，不存在说明理由． 10．是的直径，点C在上，点D在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点E，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，F为的中点，交于点G，延长，交于点H，连接，若，周长为，求弦的长． 11．如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第三象限内的抛物线上，当的面积为21时，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且．求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标． 12．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 13．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【