专题二 求数列的前n项和 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题二 求数列的前项和 数列求和方法 3.裂项相消法 5.倒序相加法 4.错位相减法 2.分组求和法 1.公式法 6.并项求和法 ①等差数列的前项和公式： ②等比数列的前项和公式 公式法求和的前提是由已知条件能得到此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误。 题型1 公式法求数列的前项和 例 1：(1)求和 1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________； (2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________. 解：(1)这是一个以 为首项， 为公差的等差数列的求和问题，其项数为 ， 所以 (2)这是一个以 为首项，为公比的等比数列的求和问题， 其项数为， 题型2 分组求和法求数列的前项和 P40[做一做1] 已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6=　　　　.  147 7 练习1：设数列满足 ，则 . 解：当为奇数时 构成首项为,公差为的等差数列,故 当为偶数时 构成首项为,公比为的等比数列,故 则 练习2：设数列的前项和为，,求 解：当为偶数时 所以构成首项和公差都为的等差数列，故 当为奇数时 所以，又因为，所以奇数项全为 所以 分组转化法求和的常见类型: (1)若,且为等差或等比数列,可采用分组转化法求的前项和. 题型3 裂项相消法求数列的前项和 例1 数列的前项和为，若，求 变式1：数列的前项和为，若，求 例2：数列的前项和为，若，求 变式2：数列的前项和为，若，求 例3：数列的前项和为，若，求 将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 练习：数列的前项和为，若，求 例4：数列的前项和为，若，求 基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消. 问题1 ：在什么情况下，用裂项相消求和？ 问题2 ：用裂项相消法求和的步骤是什么？ （1）定通项 （2）裂通项 （3）消项求和 裂项相消法求和的几种常见类型: 题型4 错位相减法求数列的前项和 例1．已知数列的前项和为且，则______. 等差数列 等比数列 解析：∵ ∴ ①－②得 ① ∴ ② 练习1．求数列的前项和. 思考1：在什么情况下，用错位相减法求和？ 思考2：用错位相减法求和的步骤是什么？ P43 24 练习2：求和 题型5 倒序相加法求数列的前项和 5.倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 例．求 例：在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝_________。 解：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加可得 2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89， 故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. 例：数列满足 ,求数列的通项公式. 题型6 并项法求数列的前项和 奇偶 配对 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并求解. 例. 求 解: ∴Sn＋2＝＝2n＋4－4. ＝2. ＝ 解析:因为an=2n+n, 所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+, 所以S6=27-2+=147. n2+1- 解析:该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(++…+) =n2+1-. 3.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn= 　　　　. (2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和. 解:设Sn=+++…+,则有Sn=++…++, 两式相减,得Sn-Sn=+++…+-, 即Sn=-=1--. 所以Sn=2--=2-(n∈N*). 针对训练： （1）an=2n+1，bn＝3n，求数列{an·bn}的前n项和Sn. （2）an=2n+1，bn＝3n，求数列{ eq \f(an,bn) }的前n项和Sn. 解析:Sn=1×+2×+3×+…+n·,① Sn=1×+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·,② ①-②,得Sn=1×+1×+1×+…+1×-n· =-.所以Sn=2--. 4.数列1×,2×,3×,4