2024届高考数学二轮复习三 函数构造与函数方程思想讲义

2024年高考二轮复习三 函数构造与函数方程思想知识精讲 没有基础,莫谈方法;建构基础,决胜思想.以一定的观点去破解问题,支撑这种定性思维的观点就是数学思想,通常把数学思想概括为如下几种:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、整体把握与极端性、归纳与类比等. 函数思想可以说是数学思想之首.函数思想用运动和变化的观点、集合与对应的方法去分析、研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或者构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题、解决问题,因此函数思想直接支撑数形结合思想. 方程(零点)同样是分析数学问题中的数量关系,是函数知识的主要外延之一,因为函数方程(零点)呈现出变量间的等量关系,而处理数量关系的本质是函数.因此需借助函数及其图像和性质来研究方程.函数与方程是通过转化达到互通的:对于函数,当时,就转化为方程了.同样也可以把函数看作是二元方程,函数与方程的这种相互转化关系非常重要. 转化思想是函数问题的重要思想,它将问题转化为函数图像和函数性质求解,其应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论有关参数的取值范围等问题;二是在问题研究中通过建立函数关系式或者构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,以达到化难为易、化繁为简的目的. 在实现问题的转化中,构造函数是重要和常用的手段之一,它使问题变得可操作、可研究.构造函数有时整体构造,有时源于式子的结构,具有一定的技巧,需多观察多积累. 3.1转化等量关系 研究秘钥 解复杂方程的问题,可尝试往函数的方向上转化.此转化有代数的结构分析和元的处理两大难点方向.构造函数源于结构,因此观察方程的结构或适当变形,利用结构的对称性来构造辅助函数.从元的角度看,处理的方法是降元,将一元视为主元,一元视为参数,构造函数将二元问题化为一元问题.通过研究函数的性质(奇偶性和单调性等)来建立等量关系,达到求解函数方程的目的. 例3.1设,且满足,则 分析对比观察两个方程的结构,两个方程左边是具有相似结构的代数式,右边值为相反数,可以构造函数,通过研究函数的性质,根据单调性、对称性得到两个自变量之间的关系. 解析由题意可得.令,易知为上单调递增的奇函数,,所以.故填2. 变式1.若实数满足方程组,则 解析可得 即. 令,易知为上单调递增的奇函数,因为1), 所以.故填2. 例3.2(2020新课标全国I卷理12)若,则(). A.B.C.D. 解析观察等式两边的结构,它们结构类似,因此可以尝试构造函数.为此将等式右边变形为以2为底的指数式与对数式的和的形式,经过放缩得到函数不等式,根据函数单调性去掉函数符号,解得自变量之间的关系. 解析令,易知是一个增函数,,所以,得.故选B. 变式1:已知,且满足,则的值为 分析这个等式中的混杂在一起,关系不清,因此首先分离,并向相似结构的方向转化,从中构造函数,通过研究函数的单调性、对称性,由函数值得到自变量之间的关系. 解析由移项可得. 令,易知在上单调递增,,所以,即.故填2. 解后反思 函数构造的两大方向——代数的结构分析和元的处理 1.结构分析 观察代数式的结构是否相同,有时通过适当变形,形成结构上的相似,这时便可利用结构的对称性来构造辅助函数. 【思考题1】求函数的图像与轴的交点坐标. 【分析与解】,观察结构可构造函数，易知为奇函数且在上单调递增. 依题意,等价于,则,得,所以的图像与轴的交点坐标为. 2.元的处理 对于二元函数的问题,处理的方法是降元,将一元视为主元,一元视为参数来构造函数,这样将二元问题化为一元问题. 【思考题2】已知,求的最小值. 【分析与解】从元的角度看,这是关于的二元问题,处理的方法是降元,将二元问题化为一元问题.视为主元,为参数.. 令得,函数在上单调递减,在上单调递增, 则(当且仅当,即时,取“”). 综上所述，当时,取得最小值为4. 3.综合看结构分析和元的处理 以上构造函数的两个角度不是对立的,有的题目可以通过不同的角度来构造函数. 【思考题3】已知为正数,若不等式恒成立,则的取值范围是(). A.B.C.D. 【分析与解】解法一:(从元的角度思考,将二元问题变为一元问题) 令,则在上单调递增,则. ①若,即当时,,则在上单调递增,则,不等式恒成立,则满足题意. ②若,即当时,,则,使得在单调递减,又,则在上恒成立,不满足题意,舍去. 综上所述,的取值范围是，故选C. 解法二:(从结构角度,对称处理),即,亦即. 构造函数,易知在上单调递增,由得,又,则,得,所以的取值范围为.故选C. 3.2转化不等关系 研究秘钥 构造函数研究不等式要抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数.一般对称不等式都可构造