专题12 相似三角形与圆的综合-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题12 相似三角形与圆的综合（原卷版） 专题导读：相似三角形与圆的综合，最常用的判定方法是两角相等判定相似，通常利用同弧（等弧）所对的圆心角或圆周角相等，切线的性质、直径所对的圆周角为直角等知识来构造三角形相似。本专题所选试题都经过精心挑选，欢迎下载使用。 1．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（宁波中考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 ． 3．已知M为圆内弦PQ的中点，过点M作弦AB和CD，连接AD与BC，分别交PQ与点X和Y，并连接AC与BD，有以下四个结论： ①DM•MC＝AM•BM； ②MX＝MY； ③若M为该圆圆心，则四边形ACBD为菱形； ④若M为该圆直径GH上一点（不与G、H重合）延长PQ于点E，连接GE交圆于点F，则GM•GH＝MQ•ME； 请问正确的结论为　 　． 4．（2023•高青一模）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，N重合），PQ⊥MN于点Q，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．若PN2＝PM•MN，则　 　． 5．（2022秋•开封期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AE平分∠BAC，交⊙O于点E，BC、AE交于点F． （1）画出过点A的⊙O的切线，且交BC的延长线于点D； （2）在（1）的条件下， ①求证：DF＝AD； ②若AB＝4，BD＝5，求AE的长． 6．（2022•顺德区二模）如图，⊙O的半径为4，点A在⊙O上． （1）尺规作图：过点A作⊙O的切线l； （2）在（1）的条件下，点P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，求x﹣y的最大值． 7．（2022•遂宁中考）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△ABD∽△DCP； （3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离． 8．（2023•宜春模拟）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P． 求证：AP•BP＝CP•DP． 证明： 如图1，连接AC，BD． ∵∠C＝∠B，∠A＝∠D． ∴△APC∽△DPB，（根据） ∴@， ∴AP•BP＝CP•DP， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： （1）请将上述证明过程补充完整． 根据：　有两个角对应相等的两个三角形相似　；@：　　． （2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径． 9．（苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t） （1）如图1，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为 　 　 （2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题： ①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧； ②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 相似三角形与圆的综合（解析版） 专题导读：相似三角形与圆的综合，最常用的判定方法是两角相等判定相似，通常利用同弧（等弧）所对的圆心角或圆周角相等，切线的性质、直径所对的圆周角为直角等知识来构造三角形相似。本专题所选试题都经过精心挑选，欢迎下载使用。 1．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【思路引领】通过同弧所对的圆周角相等及割线定理，即可找出全部的相似的三角形． 【解答