专题11 相似三角形中的类比探究-2023-2024学年九年级数学下册提优专题及提优测试卷（人教版）

专题11 相似三角形中的类比探究（原卷版） 类型一 从全等到相似——旋转变换 典例1（2023•建华区三模）在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究． 【观察猜想】如图①，△ACB和△EDB均为等边三角形，当点E、D分别在AB、CB边上，易证：AE＝CD，∠ABC＝60°； 【实践发现】如图②，将图①中的△EDB绕着点B逆时针旋转，连接AE、CD，线段AE与线段CD的数量关系为 　 　，直线AE与直线CD相交，所夹锐角为 　 　°； 【类比探究】△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°． （1）观察感知 如图③，当∠ABC＝45°且点E、D分别在AB、CB边上，易证：AECD； （2）问题呈现 如图④，将图③中的△EDB绕着点B逆时针旋转，连接AE、CD．直线AE与直线CD交于点M．线段AE与线段CD的数量关系为 　 ，∠AMC＝　 　°； （3）探究证明 如图⑤，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE与线段CD的数量关系是什么？请说明理由．此时，∠AMC＝　 　°； （4）拓展应用 在（3）的条件下，若BC＝18，BD＝12，将△EDB绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离． 针对训练 1．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： 【初步探究】 （1）如图2，当ED∥BC时，则α＝　 　； （2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：　 　； 【深入探究】 （3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由． 类型二 相似中的类比探究——变式探究 3．（2022•大鹏新区一模）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． 问题发现： （1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则　 　； ②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则　 　； 拓展研究： （2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：； 解决问题： （3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值． 针对训练 1． （2023•仙桃模拟）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M． 求：①的值； ②∠AMB的度数． （2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将△OCD点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝2，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 类型三 相似中的类比探究——从特殊到一般 典例3（2022秋•李沧区期中）数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题． 如图①，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交CD于点G．若，求的值． 【尝试探究】 在图①中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则的值为 　5　，的值为 　2　，的值为 　　． 【类比延伸】 如图②，在原题的条件下，若，则的值为 　　（用含m的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图③，若点F在线段AE的延长线上，BF的延长线交DC的延长线于点G，，则的值为 　　（用含n的代数式表示）． 针对训练 1．（2022秋•青龙县月考）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． （1）如图1，请指出AB