27.2.3　相似三角形应用举例 教案 2023—2024学年人教版数学九年级下册

教学设计 《 27.2.3　相似三角形应用举例 》教学设计 教学内容分析 进一步巩固相似三角形的知识。掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解． 学习者分析 培养学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．． 教学目标 1.进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． ． 教学重点 综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题。． 教学难点 在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：情境引入 教师活动1： 1、 新知引入 如图，这是两棵并排的大树，如何测量右边大树的高度呢？可以运用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理或“利用镜子的反射测量高度”的原理来测量右边大树的高度吗？ 不行，因为两棵大树并排，两棵大树的影子会存在重合. 教师：如何利用相似三角形来测量有遮挡的物体的高度呢？ 给我一个支点我可以撬起整个地球!——阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决： 如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高____________m。 8 我们知道数学源于生活又应用于生活，那么今天我们就一起来探索相似三角形在生活中的奥秘吧！ 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题． 积累数学活动经验，感受过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力和推理论证能力． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 环节二：新课讲解 教师活动2： 解平行投影 自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。 在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影. 在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系?（教师展示PPT在同时刻和不同时刻的高度与影长） 同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。 总结：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？ 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等． 利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 学生活动2： 学生相互交流． 用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力. 环节三：例题讲解 例1 　(测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度． 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度． 解法一：∵BA∥DE， ∴∠BAO＝∠EDF. 又∵∠AOB＝∠DFE＝90°， ∴△ABO∽△DEF， ∴＝，∴BO＝＝＝134. 答：此金字塔的高度为134 m. 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等) 解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略) ●总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物高 ：杆高 = 物影 ：杆影或 物高：物影=杆高：杆影 例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与