13.2.4 角边角 讲义2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.2.4 角边角 知识梳理 1、角边角公理:如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,可以简记成“角边角”或简记为ASA。 2、角角边定理:如果两个三角形的两角及其中一角的对边对应相等,那么这两个三角形全等,可以简记成“角角边”或“AAS”。 3、注意:如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等,这两个三角形一定全等,这时应该有两种不同的情况:一种情况是两个角及两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边。 例.一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心将三角板掉到了两墙之间,如图所示,,,,点C在上这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题. (1)试说明的理由; (2)如果每块砖的厚度,请你帮小明求出两墙之间距离的长度. 【答案】(1)见解析;(2)70cm 【分析】 (1)由AAS证明 ADC≌ CEB即可; (2)由全等三角形的性质得出AD=4a=40cm=CE,BE=3a=30cm=DC,得出DE=70cm. 【详解】 解:(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90 ,AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠CEB=90 ∴∠ACD+∠BCE=90 ,∠ACD+∠DAC=90 , ∴∠BCE=∠DAC, 在 ADC和 CEB中, , ∴ ADC≌ CEB(AAS); (2)由题意得: ∵ ADC≌ CEB,a=10cm, ∴AD=4a=40cm=CE,BE=3a=30cm=DC, ∴DE=70cm. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键. 基础训练 一、单选题 1.如图,在:①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE四个条件中,能证明 ABD与 ACE全等的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①④ 2.下列各组条件中,能判定 ABC≌ DEF的是( ) A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF C.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F D.AB=DE,BC=EF, ABC的周长= DEF的周长 3.如图所示,AB=DB,BC=BE,欲证 ABE≌ DBC,则需补充的条件是( ) A.∠A=∠D B.∠E=∠C C.∠A=∠C D.∠1=∠2 4.如图,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再作出BF的垂线DE,使点A,C,E在同一条直线上,可以说明 ABC≌ DEC,得AB=DE,因此测得DE的长就是AB的长,判定 ABC≌ EDC,最恰当的理由是( ) A.SAS B.HL C.SSS D.ASA 5.如图,已知,那么添加下列一个条件后,仍无法判定的是( ) A. B. C. D. 二、填空题 6.如图所示,∠B=∠D,BC=DC,要判定 ABC≌ EDC,当添加条件_时,可根据“ASA”判定;当添加条件_时,可根据“AAS”判定;当添加条件_时,可根据“SAS”判定. 7.如图,已知方格纸中是个相同的正方形,则_度. 8.如图所示,AB⊥BE于点B,DE⊥BE于点E. (1)若∠A=∠D,AB=DE,则 ABC与 DEF全等的理由是_; (2)若∠A=∠D,BC=EF,则 ABC与 DEF全等的理由是_; (3)若AB=DE,BC=EF,则 ABC与 DEF全等的理由是_; (4)若AB=DE,AC=DF,则 ABC与 DEF全等的理由是_. 9.如图所示,AB=AC,AF⊥BC于点F,D、E分别为BF、CF的中点,则图中全等三角形共有_对. 10.将长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠,使点D落在点D′处,得到如图所示的图形,若∠CED′=56 ,则∠D′AB=_度. 三、解答题 11.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠B=30 ,AD平分∠CAB. (1)求∠CAD的度数; (2)延长AC至E,使CE=AC,求证:DA=DE. 12.如图所示,已知AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过E点.求证:AB=AC+BD. 13.雨伞的中截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=AB,AF=AC,当O沿AD滑动时,雨伞开闭,问雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系?说明理由. 14.如图,AE=AF,AB=AC,EC与BF交于点O,∠A=60 ,∠B=25 ,求∠EOB的度数. 15.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC, 求证:∠A+∠C=180 . 16.如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,BD是中线,AF⊥BD,F为垂足,过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E. 求证:(1)∠ABD=∠FAD;(2)A