13.4.5 作已知线段的垂直平分线讲义2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.4.5 作已知线段的垂直平分线 知识梳理 (1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于C、D两点； (2)过C、D两点作直线CD，则直线CD垂直平分AB. 归纳整理：这种作法中，CD与AB的交点O是线段AB的中点，所以，作线段的中点(或作三角形一边上的中线)也采用这一种方法． 这种作法的依据是“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，所以，只需找到两个到线段两端距离相等的点，由“两点确定一条直线”，就可以作出线段的垂直平分线，另外，利用S.S.S.证明△ACD≌△BCD，再利用S.A.S.证明△AOC≌△BOC，也可以说明它的正确性． 例题 例．在点M，分别在AB，AC边上． （1）如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点使得（保留作图痕迹，不写作法) （2）如图②，请用画图的方式在BC边上找一点P′，使得P′M与P′N的距离之和最短． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）连接MN，作线段MN的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求． （2）作点M关于BC的对称点M′，连接NM′交BC于点P′，连接MP′，点P′即为所求． 【详解】 解：（1）如图①中，点P即为所求． （2）如图②中，点P′即为所求． 【点睛】 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用利用线段的垂直平分线解决问题． 基础训练 一、单选题 1．如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是： （1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为； （2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点； （3）连接 下列说法不正确的是(       ) A． B． C．点是的外心 D． 3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（       ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若，则的度数是（       ）． A．20° B．30° C．40° D．50° 6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（       ） A．65° B．70° C．75° D．80° 7．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（       ） A． B． C． D． 8．如图，将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A重合．若已知BE＝4cm，DE＝3cm，则△ABC的周长与△ADC的周长的差为（       ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 9．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（   　 ） A． B． C． D． 10．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_____________． 【答案】##18度 12．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于D，连接．若，，则__________． 13．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°． 14．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有________个． 15．尺规作图是指用______画图 三、解答题 16．如图，已知，请用尺规作图法作出边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 17．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单