13.5.3 角平分线讲义 2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.5.3 角平分线 知识梳理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这个定理是判定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理，也是定理角平分线的性质定理的逆定理。 例题 例．如图所示，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E． （1）求证：AD∥BC； （2）①若DE＝6 cm，求点D到BC的距离； ②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①；②40° 【分析】 （1）直接根据角平分线的定义和“等边对等角”的性质进行证明即可； （2）①过点作于点，结合角平分线的性质求解即可；②根据角平分线的定义可先求出∠ABC，然后综合平行的性质，求出∠ACB，即可得出结论． 【详解】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如解图，过点作于点， ∵平分，，，， ∴， ∴点到的距离为； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质以及平行线的判定与性质等，理解等腰三角形的基本性质，掌握基本图形的性质是解题关键． 基础训练 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（       ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 4．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB=13cm，AC=7cm，则DE的长（       ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．如图，在中，，是的平分线，若，，则 （   ） A． B． C． D． 6．如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于(             ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（       ） A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 10．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 二、填空题 11．已知：如图，是上一点，平分，，若，则________．（用的代数式表示） 12．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 13．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则__________． 14．如图，射线OC的端点O在直线AB上，于点O，且OE平分，OF平分，若，则__________． 15．如图，已知，且，则点C在________的平分线上，点A在________的平分线上． 三、解答题 16．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF． 17．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 18．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且． (1)