专题15 数列10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题15 数列的概念10种常见考法归类 1．数列的有关概念 一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫作首项． 2. 数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3)表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 4、数列的通项公式和递推公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2） 递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 注：递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 5、根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 6、利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 7、判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 8、数列的函数性质 （1）数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. （2）数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 （3）判断数列的单调性的方法 ①作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． ②作商比较法：ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． ③结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 9、求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 10、数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1数列的概念及辨析 考点2根据规律填写数列中的某项 考点3由数列的前几项写通项 考点4写出或判断数列中的项 考点5利用an与Sn关系求项 考点6根据递推关系求数列的项 考点7数列的单调性的判断 考点8根据数列的单调性求参数 考点9求数列的最大(小)项 考点10数列周期性的应用 考点1数列的概念及辨析 1．（2023下·高二课时练习）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．