2024年中考数学解决问题专项突破：二次函数

2024年中考数学解决问题专项突破：二次函数 1．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 2．抛物线的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)函数解析式； (2)若抛物线与轴交点为、与轴交点为，求面积． 3．在平面直角坐标系中有一条抛物线，已知抛物线的解析式是，且顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，都是抛物线上的点，求的值； (3)已知直线l与抛物线交于，两点，若点也在抛物线上，且在直线l的上方，直接写出的取值范围． 4．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的顶点坐标； (3)当时，求y的取值范围． 5．【综合与实践】 【问题情景】六堡茶属黑茶类，选用苍梧县群体种、广西大中叶种及其分离、选育的品种、品系茶树的鲜叶为原料，按特定的工艺进行加工，具有独特品质特征的黑茶，喝过六堡茶的人都会对它的“中国红”情有独钟，六堡茶业界认为，必须以“中国红”的文化韵味和民族特色为准则，使六堡茶走上复兴之路． 【实践探究】某商店经销某种品牌六堡茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 【问题解决】解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式： (2)求这一周销售这种品牌六堡茶获得的利润W元的最大值． 6．某地有一座桥，桥下水面宽米，拱顶高出水面米，当水面又上升7米，此时水面宽为EF． (1)如图①，把该拱桥看作是圆弧形时， Ⅰ.求该拱桥所在圆半径； Ⅱ.求此时的长． (2)如图②，把该拱桥看作是拋物线时，直接写出________． 7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 代数式的最小值为4． (1)求代数式的最小值； (2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设米，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 8．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． 9．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．    (1)求小山坡的坡顶高度； (2)若测得点的高度为，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出的取值范围． 10．如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 11．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． (3)点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 12．如图，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点E，使得以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线的解析式为与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．    (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在该二次函数上，且，求点D的坐标． 14．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m． (1)求水管的长度． (2)如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围． (3)将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，与y轴交于点，且．