第一章 集合与常用逻辑用语 单元教材要点解析 期末复习讲练系列讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版（2019） 第一章 集合与常用逻辑用语 教材要点解析 教材要点1　集合的概念 （1）.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集. （2）.集合的三个特性： ①描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明. ②整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体. ③广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. （3）.集合中元素的三个特性： ①确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一. ②互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. ③无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变. （4）.集合的符号表示 通常用大写的字母，，，…表示集合，用小写的字母，，表示集合中的元素. （5）.集合的相等 当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合与集合相等记作. （6）.元素与集合之间的关系 ①属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作，读作属于. ②不属于:如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作，读作不 属于. （7）.集合的分类 ①有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程的实数根组成的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式的解组成的集合. （8）.常用数集及其记法 ①正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或. ②自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作. ③整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作. ④有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作. ⑤实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作. （9）.集合表示的方法 ①自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合. ②列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有实数根”组成的集合表示为. ③描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为，其中是集合中的元素代表，则表示集合中的元素所具有的共同特征. 例如，不等式的解集可以表示为 . 教材要点2　集合间的基本关系 （1）. 子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为A⊆B(或B⊇A) 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 集合是集合的子集可用图表示如下： 或 关于子集有下面的两个性质： ①反身性：； ②传递性：如果，且，那么. （2）.真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为 （或）， 读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）. 集合是集合的真子集可用图表示如右. （3）.集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为 . 集合与集合相等可用图表示如右. （4）.空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 ①（是任意一个集合）； ②（）. 教材要点3　集合的运算 （1）.并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. （2）.交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： ①； ②； ③； ④； ⑤，； ⑥. （3）.补集 ①全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. ②补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集