第五章 三角函数 单元教材要点解析 期末复习讲练系列讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版（2019） 第五章 三角函数 教材要点解析 教材要点1 任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 射线的端点叫做角的顶点，射线在起始 位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. （2）正角、负角、零角 按逆时针方向旋转所成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所成的角叫负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. （3）象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限. （4）终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍； 象限角的表示： 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表. 位 置 表 示 终边在轴非负半轴 终边在轴非正半轴 终边在轴 终边在轴非负半轴 终边在轴非正半轴 终边在轴 终边在坐标轴 2. 弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 . 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③. 教材要点2 三角函数的概念 1. 三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点. 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，即 ； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记作 ，即 ； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即 （）. 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）. 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点 重合）的坐标为，点与原点的距离为. 可以证明： ； ； . （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等. ， ， ， 其中. 2. 同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 . （2）商数关系 . 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式. 教材要点3 诱导公式 1. 公式二 ， ， . 2. 公式三 ， ， . 3. 公式四 ， ， . 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号. （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 4. 公式五 ， . 5. 公式六 ， . 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号. 教材要点4 三角函数的图象与性质 1.正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象. ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点. ② 画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象. ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样.因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数 ，的图象（如下图）. 正弦函数的图象叫做正弦曲线. ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，. 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”. （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象. 余弦函数，的图象叫做余弦曲线. 余弦函数，的图象