第四章指数函数和对数函数单元教材要点解析——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）期末复习讲练系列

2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版（2019） 第四章 指数函数和对数函数 教材要点解析 教材要点1 指数 （1）.n次方根与分数指数幂 ①方根 如果，那么叫做的次方根，其中，且. i当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数.这时，的方根用符号表示. ii当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示. 正的次方根与负的次方根可以合并写成（）. 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式： ； . ②.分数指数幂 i正分数指数幂 （，，，）. 0的正分数指数幂等于0. ii负分数指数幂 （，，，）. 0的负分数指数幂没有意义. iii有理数指数幂的运算性质 ①（，，）； ②（，，）； ③（，，）. ③. 无理数指数幂及其运算性质 i无理数指数幂的概念 当是无理数时，是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数. ii实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质. ①（，，）； ②（，，）； ③（，，）. 教材要点2 指数函数 （1）.指数函数的概念 函数（，且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. （2）.指数函数的图象和性质 一般地，指数函数（，且）的图象和性质如下表所示： 图 象 定义域 值 域 性 质 ①过定点，即时， ②在上是减函数 ②在上是增函数 教材要点3 对数 （1）.对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 . 其中叫做对数的底数，叫做真数. 当，且时，. （2）. 两个重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为. ②自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作. （3）. 关于对数的几个结论 ①负数和0没有对数； ②； ③. （4）. 对数的运算 如果，且，，，那么 ①； ②； ③（）. （5）. 换底公式 （，且，，，）. 教材要点4 对数函数 （1）. 对数函数的概念 一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. （2）.对数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性 质 （1）过定点，即当时，. （2）增函数 （2）减函数 （3）. 反函数 指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. （4）. 不同函数增长的差异 对于对数函数（）、一次函数（）、指数函数（）来说，尽管它们在上都是增函数，但是随着的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数（）的增长速度越来越慢；一次函数（）增长的速度始终不变；指数函数（）增长的速度越来越快.总之来说，不管（），（），（）的大小关系如何，（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度；（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度.因此，总会存在一个，当时，恒有 . 教材要点5 函数的应用 （1）. 函数的零点与方程的解 ①函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点. ②函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. （2）. 用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证. ②求区间的中点. ③计算，并进一步确定零点所在的区间： i若（此时），则就是函数的零点； ii若（此时），则令； iii若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤②~④. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. （3）. 函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问