第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元教材要点解析 期末复习讲练系列讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(2019) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 教材要点解析 教材要点1 等式性质与不等式性质 (1).比较原理 ; ; . (2).等式的基本性质 性质1 如果,那么; 性质2 如果,,那么; 性质3 如果,那么; 性质4 如果,那么; 性质5 如果,,那么. (3).不等式的基本性质 性质1 如果,那么;如果,那么.即 性质2 如果,,那么.即 ,. 性质3 如果,那么. 由性质3可得, . 这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果,,那么;如果,,那么. 性质5 如果,,那么. 性质6 如果,,那么. 性质7 如果,那么(,). 教材要点2 基本不等式 (1).重要不等式 ,有 , 当且仅当时,等号成立. (2).基本不等式 如果,,则 , 当且仅当时,等号成立. 叫做正数,的算术平均数,叫做正数,的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3).与基本不等式相关的不等式 ①当时,有 , 当且仅当时,等号成立. ②当,时,有 , 当且仅当时,等号成立. ③当时,有 , 当且仅当时,等号成立. (4).利用基本不等式求最值 已知,,那么 ①如果积等于定值,那么当时,和有最小值; ②如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 教材要点3 二次函数与一元二次方程、不等式 (1).一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2).二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 ()的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 常考例题精讲 题型一、不等式及其性质 例1 (1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( ) A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B (2)若,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 跟踪训练1 若3≤a≤6,-1≤b≤2,则a-2b的取值范围为_. 题型二、利用基本不等式求最值 例2 (1)若0<x<4,则x(4-x)的最大值是( ) A.4 B. C.1 D. (2)若x>0,则x+-的最小值是_. 跟踪训练2 设,则当取得最小值时,x的值是_. 题型三、一元二次不等式的解法 例3 (1)不等式的解集为,则a,c的值为( ) A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 (2)不等式的解集是,则( ) A.-10 B.10 C.-14 D.14 跟踪训练3 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 题型四、不等式恒成立问题 例4 若不等式对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 跟踪训练4 已知x>0,y>0,且+=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m≤-1或m≥4 B.m≤-4或m≥1 C.-1<m<4 D.-4<m<1 题型五、通过构造数学模型解决生活中的问题 例5 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本) 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 跟踪训练5 某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为400元/m,中间的一条隔壁建造单价为100元/m,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低? 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版（2019） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 教材要点解析 教材要点1 等式性质与不等式性质 （1）.比较原理 ； ； . （2）.等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. （3）.不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得， . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质