2024年人教版九年级数学中考专题训练： 圆与二次函数结合型压轴题

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 圆与二次函数结合型压轴题 1．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 2．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式． （2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标． （3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明． 4．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为． （1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长； （2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标； （3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标． 5．如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B(﹣1，0)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D． （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）若以AD为直径的圆经过点C． ①求抛物线的解析式； ②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180°，得到PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标； ③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标． 6．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点． （1）求这个二次函数的关系式； （2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长； （3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围． 7．如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：圆与轴相切； （3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为，求的值．（或者求的值） 8．定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值； （3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是与轴相切于点，与轴相交于两点． （1）分别求三点的坐标． （2）如图1，设经过两点的抛物线解析式为，它的顶点为，求证：直线与相切． （3）如图2，过点作直线轴，与圆分别交于两点，点为上任意一点（不与重合），连接的延长线于点．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线， y与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标； （3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值． 11．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，Rt