考点14 数列求和方法 专题讲义-2024届新高考高三艺体生数学一轮复习

考点14 数列求和方法 一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． 1.等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d． 2.等比数列的前n项和公式Sn＝ 二．裂项相消法 1.通项特征 （1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘 （2）根式：利用平方差公式进行有理化 2.解题思路 三．错位相减法 1.通项特征 或 2.解题思路 四．分组转化求和法 1.通项特征 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)若an＝且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 2.解题思路 五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 1.通项特征 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 2.解题思路 考法一 公式法求和 【例1】（2023·北京）已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列的通项公式及前和； (2)求数列的前项和. 【变式】 1.（2023·安徽滁州）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2．（2023·陕西商洛·统考一模）在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2023·四川德阳）已知：等比数列的首项，公比，前项和为． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求的前项和． 4．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 考法二 裂项相消求和 【例2-1】（2023·广东）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【例2-2】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列的前项和为，，. (1)求及； (2)若，求数列的前项和. 【例2-3】（2023·全国·模拟预测）已知是正项等比数列，，， (1)求数列的前项和； (2)若，求数列的前项和. 【变式】 1．（2023·安徽芜湖）已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求证：. 2．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前项和为，且，求． 3．（2023·吉林·统考一模）已知数列的前项和为，，． (1)请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求； (2)令，求数列的前项和，并证明． 考法三 错位相减求和 【例3-1】（2023·陕西西安）记数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【例3-2】（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 【变式】 1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 2．（2023·湖南衡阳）已知数列满足，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知单调递增数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 考法四 分组转化求和 【例4-1】（2024·四川自贡·统考一模）已知数列的前顶和为.且. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 【例4-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【变式】 1．（2023·广东广州·统考模拟预测）设数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 考法五 奇偶并项求和 【例5】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【变式】 1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和. 3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求的