考点12 等比数列 讲义——2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点12 等比数列 1． 等比数列定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)． 二．等比数列的有关公式 1.通项公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m. 2.前n项和公式：Sn＝ 三．等比中项 1.等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件． 2.若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a； 四．等比数列的前n项和 1.数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； 2.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 五．等比数列的判定方法 1.定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列． 2.中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 3.通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 4.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 注意： (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 六.等比数列的单调性 当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 考点一 等比数列基本量的计算 【例】（2023·云南）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． (5)，，求； (6)，，求； (7)，，求； (8)，，求． 【变式】 （2023·广东各地节选）已知数列为等比数列，前n项和为 (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． (5)，，求； (6)，，求q； (7)，，求． (8) ，，求n； (9)，求及. 考点二 等比中项 【例2-1】（2023·宁夏银川）已知数列为等比数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例2-2】（2023·北京）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】 1．（2023·江苏苏州）已知等比数列中，，，则（    ） A．4或 B． C．4 D．8 2．（2023·云南大理）已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023·上海闵行）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·四川甘孜·统考一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023河南）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为 A． B． C． D． 考点三 等比数列前n项和的性质 【例3-1】（2023·辽宁）等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【例3-2】（2023·广东）等比数列的前m项和为4，前项和为12，则它的前项和是（    ） A．28 B．48 C．36 D．52 【例3-3】（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 【变式】 1．（2023·四川宜宾）已知等比数列的前n项和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南省直辖县级单位）等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 3．（2023·宁夏银川）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（    ） A． B．- C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 5．（2023上·河北石家庄·高三统考期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 考点四 等比数列奇数项或偶数项之和 【例4-1】（2023河北）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【例4-2】（2023·重庆）已知等