考点11 等差数列 专题讲义-2024届新高考高三艺体生数学一轮复习

考点11 等差数列 1． 等差数列定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． 二．等差数列的有关公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 三．等差中项 1.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 2.等差中项推广 4． 等差数列前n项和的性质 1.前n项和与等差中项 2.前n项和片段性：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 4.当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)． 五．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1.函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． 2.邻项变号法： （1）当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm； （2）当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　 3.等差数列的增减性与最值 （1）公差d>0时为递增数列，且当a1<0时，前n项和Sn有最小值； （2）公差d<0时为递减数列，且当a1>0时，前n项和Sn有最大值． 六．判定数列{an}是等差数列的常用方法 1.定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数． 选下标--列定义式--换一项--化简---写结论 2.等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. 3.通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数． 4.前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0. 考点一 等差数列基本量的运算 【例1】（2023广东潮州）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，，求n． (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，，求n． 【变式】（2023·北京）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，，求n． 考点二 等差中项 【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨）已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·福建）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【例2-3】（2023·湖南长沙）已知为等差数列，且是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 【例2-4】（2023湖南）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·山东青岛）已知在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2023·新疆）若，，成等差数列，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·四川成都）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 4．（2023·云南曲靖）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 前n项和与等差中项 【例3-1】（2023·全国·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，，则（    ） A．22 B．33 C．40 D．44 【例3-2】（2023·河北张家口）等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2023·广东）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·陕西咸阳）设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽蚌埠）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北荆州）等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江鹤岗）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点四 前n项和片段性 【例4-1】（2023·甘肃武威）等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【例4-2】（2023·江苏）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（    ） A．140 B．180 C．220 D．380 【例4-3】（2023·甘肃金昌）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·湖南长