2024届高考数学二轮复习-函数的性质及延拓讲义

2024年高考二轮复习 一 函数的性质及延拓 知识精讲 函数是贯穿整个中学数学的一根主线,其内容包括两个方面:性质和图像.其中,函数的概念、定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性是函数性质的重要组成部分,也是高考重点考查的知识,函数的图像主要包括基本初等函数的图像及图像变换,函数知识的外延主要结合在方程(零点)、不等式等方面.处理这两类问题的主导思想是转化,其转化的方向为借助函数的图像与性质求解.在转化的路径上,我们研发了函数解题思维“”图(如图所示). 数量关系包括等量关系和不等量关系,它是数学的核心研究对象,从形式上看,函数方程(零点)呈现的是等量关系,函数不等式呈现的是不等量关系.处理数量关系的本质是建立数量关系的模型.函数这部分的重要数学思想是转化思想,将函数、方程、不等式问题转化为函数图像和函数性质求解.从更大范围来讲,学好函数是整个数学学习的基石,在数学的其他分支上都需要用函数的思想方法来处理问题. 1.1对称性及延拓 研究密钥 函数对称性是函数奇偶性的延伸,函数奇偶性是函数对称性的特例.和为定值的两个自变量通过函数作用产生的函数值恒相等,则为轴对称函数,其图像关于对称;若通过函数作用产生的函数值之和恒为定值,则为中心对称函数,函数图像关于点对称,否则不具有对称性. 于是,函数的图像关于点对称的充要条件是; 函数的图像关于直线对称的充要条件是,或. 由此可知,两个自变量之和为定值是函数具有对称性的前提条件,即必要条件,这是判断函数对称性的首要着眼点. 例1.1已知函数在区间上的值域为,则________. 分析考虑函数在区间上的值域,该区间是一个对称区间,而奇函数在对称区间上的最值之和为0,因此转化原函数为“奇+常”模型,利用奇函数的上述性质解题. 解析. 所以. 令,则,所以为奇函数,奇函数在对称区间上的最值之和为0,所以在区间上的最值之和为0,即. 变式1:已知为常数,且,则________. 解析,所以 所以. 变式2函数的最大值与最小值之和为________. 解析 令,易知为奇函数,为偶函数,所以为奇函数,为奇函数,则. 例1.2已知函数满足,若函数与图像的交点为,则. A.0 B. C. D. 分析函数满足,得到关于点对称,函数经过化简也可以得到关于点对称,由此可知两个函数的交点关于对称,根据点的对称性,就可以得到的值. 解析因为函数满足,即函数满足,所以关于点对称. 又函数等价于,则函数也关于点对称,所以函数与图像的交点也关于点对称,故交点,成对出现,即为偶数,且每一对点都关于点对称,故.故选B. 变式1:已知函数,则的值为________. 解析.. 所以. 变式2:函数的图像的对称中心为______. 解析 则,所以函数的图像的对称中心为.例1.3函数的最大值与最小值之积为________. 分析思路一:首先对变形处理,得 再通过对勾函数的值域求的值域. 思路二:的表达式很有规律,正好是其倒数,因此可思考取得最大值与最小值时自变量的关系. 解析= 当时,;当时,. 又或,所以或. 综上可得,所以. 评注 取到最大值和最小值的情形,恰好其自变量互为相反数,因此,由,不难知. 变式1的最大值和最小值之积为________. 解析=1，且. 当时,;当时,. 当时,取最大值;当时,取最小值. 故. 例1.4(2017江苏赛区复赛2)若函数对任意的均满足,则的最小值为________. 分析由题意可得的对称轴为,又知1为函数零点,因此3和5也是函数的零点,至此得出函数解析式,为一个最高次数为4的多项式,接下来可利用换元法降次,并用配方法求出最值. 解析由题意可得的对称轴为. 已知函数有两个零点1和-1,由对称性可得3和5也是函数的零点.所以 令,则,所以. 当时,有最小值.故填-16. 变式1函数的图像关于直线对称.据此可推测,对任意的非零实数,关于的方程的解集都不可能是(). A. B. C. D. 分析方程若有四个不同解,则可根据二次函数的图像的对称性知道四个不同的解中,有两个解的和与余下两个解的和相等,可以由此判断. 解析设关于的方程有两个解,即或. 而的图像关于对称,因此或的两个解也关于对称,所以若有4个不同解,则有两个解的和与余下两个解的和应相等.而选项D中,故选D. 2.2单调性及延拓 研究密钥 一切不等式的问题都是函数问题,因此在函数中的不等式问题往往转化为函数问题去求解,借助函数的性质,尤其是单调性来转化,从而将函数符号“”去掉. 本类问题需把握两点:一是要把原不等式转化为(其中不等号还可以为的模型;二是要判断函数的单调性,再根据函数的单调性将抽象函数不等式中的函数符号“”去掉,得到具体的不等式(组)来求解. 例1.5已知函数,对任意的恒成立,则正实数的取值范围是________