28.2 解直角三角形及其应用（第4课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

解直角三角形及其应用（第4课时） 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海及部队行进等方面应用广泛．你知道怎样利用方向角测量两地的距离吗？ 一般地，方向角是指目标与参照物所在的直线和南北方向所在的直线所夹的锐角． 利用方向角，根据已知条件构造直角三角形，然后通过解直角三角形就可得出所求两地的距离． 点 A 在点 O 的北偏东 60°方向， 点 B 在点 O 的南偏东 45°方向（东南方向）， 点 C 在点 O 的南偏西 80°方向， 点 D 在点 O 的北偏西 30°方向． 南偏东 45°也称为东南方向；南偏西 45°也称为西南方向；北偏西 45°也称为西北方向；北偏东 45°也称为东北方向． 特别注意 （1）方向角通常是以南北方向线为基准，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”． （2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此，通常借助于此性质进行角度的转换． 例1　如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时，B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ 分析：能确定的线段和角有：___________ ________________________． 要求解的是：________________． ∠A＝65°， PA＝80 n mile，∠B＝34° 线段 PB 的长度 解：如图，在 Rt△APC 中， PC ＝PA·sin 65°≈72.505（n mile）． 在 Rt△BPC 中，∠B＝34°， ∵sin B＝ ， ∴PB＝ ≈130（n mile）． 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔 P 大约130 n mile． 例2　海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile 内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 n mile 到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ E F C 解：如图，过 A 点作 AE⊥BD 于点E，过 D 点作 DC∥AE，则 AE 是点 A 到 BD 的最短距离，且 CD//AE//BF． 8 ∴∠BAE＝∠ABF＝60°，∠DAE＝∠ADC＝30°． ∴∠ABE＝∠BAD＝30°． ∴AD＝BD＝12 n mile． ∴AE＝AD·sin 60°＝12× ＝6 （n mile）． ∵6 ＞8， ∴如果渔船不改变航线继续向东航行， 没有触礁的危险． E F C 解题思路 解答关于方向角的应用题时，对于非直角三角形问题，可以通过作辅助线转化成直角三角形问题来解决．多利用正北、正南、正东、正西方向线构造直角三角形，注意所作的辅助线尽量不分割已知的特殊角． 例3　如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从 A 地到 B 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的 C 处有一个大型油库．现测得油库 C 在 A 地的北偏东 60°方向上，在 B 地的西北方向上，B 地在 A 地的正东方向上，AB 的距离为 250( ＋1)m．已知在以油库 C 为中心，半径为 200 m 的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问：若在此路段修建铁路， 油库 C 是否受到影响？请说明 理由． 解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D． 由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°． 在 Rt△ADC 中，tan∠CAD＝ ， 即 tan 30°＝ ，∴ AD＝ CD． 在 Rt△BDC 中，tan∠CBD＝ ， 即 tan 45°＝ ，∴BD＝CD． D 12 ∵AD＋BD＝AB， ∴ CD＋CD＝250( ＋1)m， ∴CD＝250 m． ∵250 m＞200 m，∴在此路段修建铁路，油库 C 不会受到影响． D 例4　知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用 C 表示）开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 km，导航显示车辆应沿 北偏东 60°方向行驶至