28.2 解直角三角形及其应用（第3课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

解直角三角形及其应用（第3课时） 解直角三角形的依据有哪些？ （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）． （2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． （3）边角之间的关系： ， ， ． A C B a b c 如图所示，某探险者某天到达点 A 处时，所在地的海拔为 0 m，他准备估算出自己与海拔为 3 500 m 的山峰顶点 B 处之间的水平距离．他能想出一个可行的办法吗？ A B C 如图，BC＝3 500 m，如果测量出此时他看向点 B 的视线 AB 与水平线 AC的夹角（∠A）的度数，根据 即可求出他与山峰顶点 B 处之间的水平距离 AC． 观察物体时，我们的视线相对于水平线来说有几种情况？ 眼睛 视线 水平线 视线 三种：重叠、向上和向下． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 仰角 俯角 例1　2012 年 6 月 18 日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最 远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径 约为 6 400 km，π 取 3.142，结 果取整数．） 求 的长，要先求 α 的度数 FQ 是☉O 的切线，∠FQO 为直角 分析： 最远点 解此题时，需要综合利用圆和解直角三角形的知识． 解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是☉O 的切线， △FOQ 是直角三角形． ∵ ， ∴α≈18.36°． ∴ 的长为 （km）． 由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2 051 km． 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 例2　热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图中，α＝30°，β＝60°． 在 Rt△ABD 中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC． 解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120． ∵ 　 　 ， 　　． ∴BD＝AD·tan α＝120×tan 30° ＝120×　 ＝　　 ， CD＝AD·tan β＝120×tan 60° ＝120×　 ＝ ． ∴BC＝BD＋CD＝　　 ＋ ＝ ≈277（m）． 因此，这栋楼高约为 277 m． 求解有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形． 例3　如图（示意图），小明想测量塔 AB 的高度．他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处，测得仰角为 60°，已知小明的身高为 1.5 m，那么该塔有多高（结果取整数）？ 解：如图，∠AD′B′＝30°，∠AC′B′＝60°，CD＝50 m， ∴∠D′AB′＝60°，∠C′AB′＝30°，C′D′＝50 m． 设 AB′＝x m， ∵tan∠D′AB′＝ ，tan∠C′AB′＝ ． D′ A B′ B D C′ C ∴D′B′＝x·tan 60°，C′B′＝x·tan 30°， 又∵D′B′－C′B′＝D′C′， ∴x·tan 60°－x·tan 30°＝50， ∴ ，即AB′＝43.3 m． 由题意知，DD′＝BB′＝1.5 m， ∴AB＝AB′＋BB′＝43.3＋1.5＝44.8≈45（m）． 因此，该塔的高约为 45 m． D′ A B′ B D C′ C 14 解直角三角形及其应用 运用解直角三角形解决仰