28.2 解直角三角形及其应用（第2课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

解直角三角形及其应用 （第2课时） 1．什么叫做解直角三角形？ 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个 元素之间有如下关系： （1）三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°；  （3）边角之间的关系 上述（3）中的 A 都可以换成 B， 同时把 a，b 互换． 类型一、解直角三角形 1．（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知 BC＝12，AC＝4 ，解这个直角三角形； 解：（1）在 Rt△ABC 中， 　　因为 所以∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°． （2）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝31，c＝31 ，解这个直角三角形． 解：（2）因为 所以∠A＝45°． 所以∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°， 所以∠A＝∠B． 所以 b＝a＝31． 已知两边解直角三角形的方法 （1）已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角． （2）已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦（或余弦）值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角． 归纳 2．（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解这个直角三角形； 所以 BC＝AB·sin A＝10×sin 60°＝5 ． 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－60°＝30°． 因为 ， 因为 ， 所以 AC＝AB·cos A＝10×cos 60°＝5． （2）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解这个直角三角形（精确到 0.001，sin 35°≈0.573 6，cos 35°≈0.819 2，tan 35°≈0.700 2）． 所以 ． 解：（2）在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－35°＝55°． 因为 ， 所以 BC＝AC·tan A＝3×tan 35°≈3×0.700 2≈2.101． 因为 ， 已知一锐角和一边解直角三角形的方法 （1）已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边． （2）已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边．当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边．（在这个过程中，也可利用勾股定理求其中的某条边）  归纳 类型二、“化斜为直”解非直角三角形 3．如图，在 △ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，求 AB 的长． 所以 CD＝AC·sin 30°＝ ＝ ， AD＝AC·cos 30°＝ ＝3． 所以 BD＝CD＝ ． 解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．在 Rt△ACD 中， 因为∠A＝30°， 在 Rt△BCD 中，因为 tan 45°＝ ， 所以 AB＝AD＋BD＝3＋ ． D “化斜为直”解非直角三角形的方法 一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高）添加辅助线，将非直角三角形分割成两个直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．若条件中有线段的比或锐角三角函数，则也可以设一个辅助未知数，列出方程求解． 归纳 类型三、解直角三角形与三角形面积的综合应用 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC 的面积． 解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E． 因为 AD 是∠BAC 的平分线，∠C＝90°， 所以 DE＝CD＝6． 在 Rt△BDE