28.2 解直角三角形及其应用（第1课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

解直角三角形及其应用 （第1课时） sin A＝____________＝____． 　　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°． 　　我们把锐角 A 的_________________叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即 A C B a c b 对边与斜边的比 　　把∠A 的________________叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A＝____________＝____； 邻边与斜边的比 A C B a c b 　　把∠A 的_________________叫做∠A 的正切， 记作 tan A，即 tan A＝__________＝____． 对边与邻边的比 　　我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题． 　　1972 年的情形：设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图）．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A 的度数． ∵ BC＝5.2 m，AB＝54.5 m， ∴ ， 利用计算器可得∠A≈5°28′． 　　意大利从 1990 年起对斜塔维修纠偏，2001 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43.8 cm． 　　类似地，可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你能求出来吗？ ∵ 43.8 cm＝0.438 m， ∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）． ∴ ， 利用计算器可得∠A≈5°0′46″． C′ B′ A′ 1．将上述问题推广为一般的数学问题如何求解？ 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．可利用锐角的正弦（或余弦）的概念直接求解． 2．在上述 Rt△ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 根据直角三角形两锐角互余可求得∠B 的值，根据 可求得 AC 的长． 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 　　如图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系： （1）三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°； （3）边角之间的关系 上述（3）中的 A 都可以换成 B，同时把 a，b 互换． 知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？ 在直角三角形中，知道除直角以外的五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求其余三个未知元素． 已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件时，三角形的大小不能确定，即有无数多个三角形符合条件：已知一角、一边时，角必须是锐角，若已知的角是直角，则不可解． 　　例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形． 解直角三角形的目标是什么？ 解直角三角形的目标是由已知元素求所有未知元素． 在 Rt△ABC 中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是什么？ 　　例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形． 解：∵ ∴∠A＝60°， ∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， AB＝2AC＝2 ． 　　例2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 　　解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°． ∵ ∴ ∵ ∴ 解直角三角形的类型及方法 图示 已知类型 已知条件 方法与步骤 两边 斜边，一条直角边（如 c，a） （1） ； （2）由 ，求∠A； （3）∠B＝90°－∠A 两条直角边 a，b （1） ； （2）由 ，求∠A； （3）∠B＝90°－∠A 图示 已知类型 已知条件 方法与步骤 一边、一角（除直角外） 斜边，一个锐角（如 c，∠A） （1）∠B＝90°－∠A； （2）由 ，得 a＝c·sin A； （3）由 ，得 b＝