28.1 锐角三角函数（第4课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

锐角三角函数（第4课时） 　　请将 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表： 　　锐角 A 锐角三角函数 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 类型一、利用直角三角形求某些非特殊角的三角函数值 　　1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长 CA 至 D 点，使 AD＝AB． 　　（1）求∠D 的度数； 　　（2）求 tan 15°的值． 　　解：（1）∵AB＝AD， 　　∴∠D＝∠ABD． 　　∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°， 　　∴∠D＝15°． D A C B 　　解：（2）设 BC＝x，在 Rt△ABC 中， 　　∵sin∠BAC＝ ， 　　∴AB＝ ＝2x． 　　∴AC＝ ＝ x． 　　∴CD＝AD＋AC＝2x＋ x＝(2＋ )x ． 　　在 Rt△DBC 中， tan 15°＝tan D＝ ＝ ＝2－ ． D A C B 　　在求 15°，75°，22.5°，67.5°等非特殊角的三角函数值时，可以利用相应的 30°，45°，60°角的三角函数值表示出这些非特殊角所在直角三角形的三边的长，从而求出结果． 归纳 　　2．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，O 都在格点上，求 sin∠AOB 的值． 类型二、在网格中求锐角三角函数值 A B O C 　　解：如图，过点 A 作 AC⊥OB，交 OB 的延长线于点 C，点 C 在格点处． 则 AC＝ ，AO＝ ＝2 ， 　　∴sin∠AOB＝ ＝ ＝ ． 抓特征找方法，轻轻松松解决网格类问题 　　网格类问题主要具备两个特征：（1）任何格点之间的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点间的线段的长度都能求出；（2）利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如45°，90°角等． 归纳 　　解决此类问题的方法是先结合网格特点构造所求角所在的直角三角形，再利用勾股定理求出三角形的边长，进而解决问题． 类型三、锐角三角函数与圆的综合应用 　　3．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，A 是 的中点，AE⊥AC 于点 A，与⊙O 及 CB 的延长线分别交于点 F，E，且 ＝ ． 　　（1）求证△ADC∽△EBA； 　　（2）如果 AB＝8，CD＝5， 求 tan∠CAD 的值． A O B C E F D 　　（1）证明：∵ ＝ ， 　　∴∠BAE＝∠DCA． 　　∵四边形ABCD内接于⊙O， 　　∴∠CDA＋∠ABC＝180°． 　　又∠ABC＋∠ABE＝180°， 　　∴∠CDA＝∠ABE． 　　∴△ADC∽△EBA． A O B C E F D A O B C E F D 　　（2）解：∵△ADC∽△EBA， 　　∴ ＝ ，∠CAD＝∠AEB． 　　∵A 是 的中点，∴AB＝AC＝8． 　　∵CD＝5， 　　∴ ＝ ，即 AE＝ ． 　　又 AE⊥AC，∴∠EAC＝90°， 　　∴tan∠CAD＝tan∠AEB＝ ＝ ＝ ． 在圆中求锐角三角函数值的方法 　　在圆中求锐角三角函数值时，常通过直径或切线构造直角三角形，并利用同弧或等弧所对的圆周角相等或切线性质等，将所求角转化到直角三角形中，进而求出三角函数值． 归纳 类型四、锐角三角函数与平面直角坐标系的综合应用 　　4．如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA，OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A′ 的位置，若 OB＝ ，tan∠BOC＝ ，求点 A′ 的坐标． 　　解：如图，过点 A′ 作 A′E⊥OC 于点 E，设 OC 与 A′B 交于点 F． 　　∵OB＝ ，tan∠BOC＝ ＝ ， 　　∴BC＝1，OC＝2． A′ A O B C y x E F 　　∵四边形 OABC 是矩形， 　　∴∠OAB＝90°，AB∥OC，OA＝BC＝1．∴∠OBA＝∠FOB． 　　由折叠，知∠OBA＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB． 　　设 OF＝x，则 FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x． 　　在 Rt△BCF 中，由勾股定理，得 BC2＋CF2＝FB2． 　　∴12＋(2－x)2＝x2， 　　解得