专题04 指数函数与对数函数（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题04 指数函数与对数函数 知识点一 指数运算与对数运算 1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 题型1：指数运算及指数方程、指数不等式 例1．（1）、（2023上·四川·高一校联考阶段练习） （    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·湖南永州·高一校考期中） . 1、（2023上·河南·高一校联考阶段练习）（多选题）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 2、（2023上·天津·高一校考阶段练习）计算的结果是 ． 题型2：对数运算及对数方程、对数不等式 例2．（1）、（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）计算： . （2）、（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（    ） （参考数据：，） A．60天 B．65天 C．70天 D．75天 1．（2023上·湖南长沙·高一校联考阶段练习）化简： . 2．（2023上·四川成都·高一校考阶段练习）为了衡量星星的明暗程度， 古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小， 星星就越亮； 星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850 年， 由于光度计在天体光度测量的应用， 英国天文学家普森又提出了亮度的概念， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ， 其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是 1， “天津四”的星等是1.25 ，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍. A．1 B． C． D． 题型3：对数与指数混合运算 例3．（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川萱花中学校校考期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（    ）天．（参考数据：） A．20 B．30 C．40 D．50 例4、（2023上·河南安阳·高一校考阶段练习）（1）； （2）. 1．（2023上·四川宜宾·高一统考阶段练习）计算下列各式的值 (1) (2). 知识点二 指数函数 1、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的