专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题02 一元二次函数、方程与不等式 重难点题型一 等式关系与不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 题型1：等式与不等式的性质 例1．（1）、下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 （2）、已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若且，则 2、（多选题）若，则下列说法不成立的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 例2.（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 1．（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 重难点题型二 基本不等式及其应用 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 题型2：基本不等式及其应用 例3．（1）、（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 （2）、（2023上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考阶段练习）若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 1、（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2、（2023·山东日照·校联考模拟预测）(多选题)已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值4 例4．（2023上·江苏徐州·高一统考期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 1．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 题型3：基本不等式的变形 例5．（1）、（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． （2）、（2023上·四川凉山·高一校联考期末）当时，的最小值为 ． 1、（2023上·山西朔州·高二校考期中）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2、（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）若，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型4：基本不等式中“1”的应用 例6．（1）、（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．25 B．36 C．42 D．56 （2）、（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 1、（2023·陕西·校联考模拟预测）已知，则最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 2、（2023上·山东·高三校联考阶段练习）