2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值 1．在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）． (1)当抛物线经过点时，求a的值； (2)当时， ①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ； ②若，则函数的最大值为 ，最小值为 ． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式和点B的坐标； (2)直接写出y的最大值为 　　. 3．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D． (1)求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标． (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上， ①求n的最小值； ②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围． 4．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，若点在轴上时，和的夹角为15°，求线段的长度； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 5．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求直线AC的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值． 6．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 7．“鄂尔多斯羊绒衫，温暖全世界”，某专卖店为换季大酬宾，将原价每件500元的羊绒衫连续两次降价后以每件 320元售出，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每件羊绒衫盈利 10元，每天可售出500件，经市场调查发现，在进货价不变的情况下专卖店决定采取适当的涨价措施，若每件涨价5元， 日销售量将减少100件，现该专卖店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每件羊绒衫应涨价多少元？ (3)在（2）的条件下，若使专卖店每天的盈利达到最大值，应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少元？ 8．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，求的最大值，并求出此时的坐标． 9．已知抛物线． (1)如图，当抛物线经过点时， ①求抛物线的解析式； ②如果是抛物线上两点(点在点的左侧)，且两点之间的水平距离为，请求出这两点纵坐标之和的最大值； (2) 当二次函数的自变量x满足时，函数有最大值为，求的值． 10．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米．现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 11．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上的一个动点（不与B，C重合），过点E作轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点E的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点A的坐标为，点的坐标为．且．    (1)写出点的坐标； (2)求这个二次函数的解析式． (3)若点是该抛物线上一点，点是直线下方的抛物线上的一动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求此时点的坐标和的最大面积． 14．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值； (3)在抛物线上是否存在点P，满足 ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是线段上方抛物线上的一个动点，