2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数中的特殊三角形问题

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数中的特殊三角形问题 一、解答题 1．如图，抛物线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接，求的长． 2．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 3．若二次函数的图象经过点，其中、为常数． (1)用含有字母的代数式表示抛物线顶点的横坐标； (2)若时，此时抛物线与轴的另一个交点，与轴的交点，连接、两点，若是抛物线上一点，使得是以边为直角边的直角三角形，求点． (3)点、为坐标平面内的两点，连接、两点．若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围． 4．我们不妨约定：纵坐标等于横坐标一半的点叫做“双减点”，例如点(1，)，(0，0)，(-3，)，(m，)……，显然，这样的“双减点”有无数个．根据约定，解答下列问题： (1)若点(2022，n)是“双减点”，则n= ； (2)若一次函数y=2x+8的图像上存在“双减点”，试求该图像上“双减点”的坐标； (3)设二次函数y=x2-2x的图像的双减点为点A，B．（点A在点B左侧），在x轴上找一点P，使得PAB为等腰三角形，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积． 6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标； （3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标． 8．综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．      (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．      (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3）两点． (1)求函数的解析式； (2)设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接BC，BD．CD，判断△BCD的形状并说明理由： (3)对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c， ①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值； ②设函数y在0≤x≤t内的最大值为p．最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值． 11．已知抛物线n：与x轴从左到右交于A、B两点，顶点为C． (1)的形状是___________． (2)若，求m的值． (3)直线与抛物线n从左到右交于D、E两点，P是线段的中点，轴与抛物线n相交于点F． ①若，求m的值； ②求的的面积（用含m的代数式表示）． 12．如图，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点E、P． (1)求该抛物线的解析式及A、B两点坐标； (2)当0＜m＜6时，求△BCP面积的最大值； (3)当△BPE是等腰三角形时，直接写出m的值． 13．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，点B，