28.1 锐角三角函数（第1课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

锐角三角函数（第1课时） 　　如图，在 Rt△ABC 中，两个锐角之间有什么关系？三边之间有什么关系？ 角 边 角 边 ∠A＋∠B＝90° ？ a2＋b2＝c2 ？ A C B a c b 问题 　　为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 　　你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？ 　　这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求 AB． 　　根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 ＝ ＝ ， 可得 AB＝2BC＝70（m）．也就是说，需要准备 70 m 长的水管． A B C A B C 　　在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 思考 B′ C′ 　　如图，根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 ＝ ＝ ， 可得 AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是说，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备 100 m 长的水管． 　　对于有一个锐角为 30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边的比是多少？ 思考 　　在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ． 问题 A B C 　　如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A 的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？ 　　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∵∠A＝45°， 　　∴Rt△ABC 是等腰直角三角形． 　　由勾股定理得 AB2＝AC2＋BC2＝2BC2， 　　∴AB＝ BC， 　　∴ ＝ ＝ ＝ ． 问题 A B C 　　如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A 的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？ 　　结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ． 问题 　　猜想：在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 　　由上述两个结论可知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？ 探究 　　如图，任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 　　 ＝ ．理由如下： 　　∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′， 　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 　　∴ ＝ ，即 ＝ ． A B C B′ C′ A′ 　　这就是说，在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 　　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即 sin A＝ ＝ ． A C B 斜边 a 对边 c b 　　例如，当∠A＝30°时，我们有 sin A＝sin 30°＝ ；当∠A＝45°时，我们有 sin A＝sin 45°＝ ． 　　∠A 的正弦 sin A 随着∠A 的变化而变化．正弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关． A C B 斜边 a 对边 c b 提醒 　　（1）正弦是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用． 　　（2）sin A 是一个整体符号，不能写成乘积的形式，即 sin·A 的写法是错误的． 　　（3）若角是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，则正弦的写法中可省略“∠”，如 sin α；若角是用三个大写字母或数字表示的，则不能省略“∠”，如 sin∠ABC． 　　例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A 和 sin B 的值． A B C 4 3 （1） B A C