5.1.4 用样本估计总体【4大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第二册）

5.1.4 用样本估计总体 一、用样本估计总体 1、前提：样本容量恰当，抽样方法合理. 2、必要性：（1）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力；（2）有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体。 3、误差：估计一般是有误差的，但是，大数据定理可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性越来越大。 4、“大数据”简介：凡是可以被“数据化”的信息载体都可以看成数据，信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是“大数据”. 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 （1）众数：众数是最高的长方形底边中点所对应的数据； （2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，因此可以估计中位数的值，但是有偏差；中位数表示样本数据所在频率的等分线； （3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点。 2、常用结论 （1）一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可； （2）样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征。 以分两层为例： ①条件：假设第一层有个数，分别为，，……，，平均数为，方差为； 第二层有个数，分别为，，……，，平均数为，方差为； ②结论：如果记样本均值为，样本方差为，则， 三、用样本的分布估计总体的分布 如果总体在每一个分组的频率记为，，……，，样本在每一个分组的频率记为，，……，，一般来说，不等于0，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性越来越大。 题型一 样本平均数估计总体平均数 【例1】（2023·高一课时练习）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图，则a的值为 ，该市中学生中的全体男生的平均身高的估计值为 cm. 【变式1-1】（2023·高一课时练习）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在内的频率； （2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如组区间的中点值为）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分． 【变式1-2】（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）. 【变式1-3】（2023·山西太原·高一校考阶段练习）某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的． （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （2）估计该公司在若干地区各投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)． 题型二 样本中位数估计总体中位数 【例2】（2023·福建宁德·高一校考开学考试）每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2 【变式2-1】（2022·贵州·高一校联考开学考试）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14 【变式2-2】我们来定义“中位数”：中位数即一组从小到大排列的数据中，处于“中间”位置的数据，也就是说有大约的数据小于中位数，也有大约的数据大于中位数，即中位数左、右两边的数据的频率之和是相同的，都为．请利用“中位数”的定义，并根据下列某一组数据的频率分布直方图，估算这组数据中位数的值． 【变式2-3】（2023·江苏南京·高一校考期末）某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组第一组：第二组：第三组：第四组：