7.6 用锐角三角函数解决问题（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.6用锐角三角函数解决问题 第7章 锐角三角函数 苏科版 九年级下册 教学目标 01 理解“坡度”、“坡角”的概念，并结合锐角三角函数解决问题 02 理解“仰角”、“俯角”及“方向角”的概念，并结合三角函数解决问题 03 能将与旋转有关的实际物体问题抽象成几何问题 坡度、坡角问题 美丽的山坡也可以抽象出数学模型~ 01 情境引入 回顾坡度的概念~ h l 01 复习引入 坡面的垂直高度h与水平方向的距离l的比叫做坡度（或坡比），坡度越大，坡越陡。 【坡度的表示】 坡度用i表示，记作i=h:l，坡度通常写成1:m的形式。 坡度 坡度 02 知识精讲 h l eg：若h=2，l=2，则i=2:(2)，即i=1:。 坡度 坡度 02 知识精讲 h l 水平面 坡面 α 【坡角的概念】 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且tanα==i。 知识精讲 例1、某人沿着坡度i=1:的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了________米。 75 03 典例精析 h α 【分析】如图，设山坡的坡角为α，上升的高度为h， ∵山坡的坡度为i=1:， ∴tanα=i==， ∴α=30°， ∴h=150×sin30°=150×=75（米）。 知识精讲 例2、如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长。（结果精确到0.1米。参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 03 典例精析 【分析】在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， ∴AC=AB·sin∠ABC≈8×0.60=4.80（米）， BC=AB·cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt△ADC中，∠ADC=30°， ∴CD==≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的长约为1.9米。 仰角、俯角 水平线 目标视线 仰角 01 情境引入 水平线 目标视线 01 情境引入 俯角 【仰角与俯角的概念】 从下向上看，目标视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上向下看，目标视线与水平线的夹角叫做俯角。 仰角与俯角 02 知识精讲 知识精讲 例1、如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α=30°，测角仪高AD为米，则铁塔的高BC为________米。 【分析】如图，过点A作AE⊥BC，E为垂足， 03 典例精析 E 由题意可得：四边形ADCE为矩形，AE=30米， ∴CE=AD=米， 在Rt△ABE中，tanα==tan30°=， ∴BE=AE=10（米）， ∴BC=BE+CE=(10+)米。 (10+) 例2、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，若斜面坡度为1:，则斜面AB的长是________米。 03 典例精析 【分析】如图，过点A作AF⊥BC于点F， ∵斜面坡度为1:， ∴tan∠ABF===，∴∠ABF=30°， ∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°， ∴∠HPB=30°，∠BPE=60°，∴∠APB=45°，∠HBP=60°， ∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴AB=PB===20（米）。 F E 20 方向角 N E W S 50° 40° 北偏西40° 南偏西50° 60° 北偏东60° 30° 南偏东30° 01 情境引入 【方向角的概念】 如：北偏西40°，北偏东60°，南偏西50°，南偏东30°…… 02 知识精讲 方向角 【注意点】 约定俗成，以北或南为基准线，北偏西40°，不可以说成西偏北50°；同样地，南偏东30°，不可以说成东偏南60°。 方向角 02 知识精讲 知识精讲 例1、一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？ 03 典例精析 【分析】如图，过点P作PC⊥AC交AB的延长线于点C， C 由题意可知：∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20海里， ∴PC=AP·cos∠APC=20×=10（海里）， BC=PC=10海里， ∴AC===10（海里）， ∴AB=AC-BC=10-10≈7.3（海里）， 答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处。 知识精讲 例2、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的避风港B处。 (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里。参考数据：