2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学试题

2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 圆梦杯第二届考试中，有考生成绩超过70分，有考生的成绩超过100分，若某考生的成绩超过70分，则该考生的成绩超过100分的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，且，命题“”，命题：“”，则命题是命题的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，则 D. 若，则 10 若，且，则（ ） A B. C. D. 11. 已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，且，线段分别交于两点，过作的垂线，垂足为．设的面积为的面积为，则（ ） A. B. C. 恒为定值 D. 的最小值为 12. 已知数列前项和为，若，则（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为__________． 14. 复数，满足，，则______. 15. 已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为__________． 16. 正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足，，是公比为2的等比数列． （1）证明：是等比数列； （2）求的前项和． 18. 在三棱锥中，点在上，． （1）证明：平面平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 19. 记钝角的内角的对边分别为，已知． （1）若，求的面积； （2）若线段上存在点，使得，求的取值范围． 20. 某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 （1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望； （2）若至少有的把握认为热爱数学与学生的年级有关，求的最小值． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 21 已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）讨论函数的零点个数． 22. 已知椭圆的左焦点为，直线与圆相切于点，且与交于，两点，其中在第一象限，在第四象限． （1）求的最小值； （2）设为坐标原点，若，求的方程． 2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【1