数列求和 专项训练-2024届高三数学一轮复习

数列求和 1、 公式法 1.等差数列的前项和. 2.等比数列的前项和. 例1：已知是公差为3的等差数列，数列满足. （1） 求的通项公式及其前前项和； （2） 求前项和. 2、 倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 例2.已知函数满足，若数列满足，则数列的前 20项的和为（ ） A．230 B．115 C．110 D．100 跟踪训练 1 设函数，设，. (1)计算的值; (2)求数列的通项公式． 三、裂项相消法 1、等差型 ①，特别注意，，；，. ②，如：（尤其要注意不能丢前边的）. ③. 2、无理型 ①，如. 3、指数型 ①，如：. 4、通项裂项为“+”型 如：① ；②. 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 例3.已知是等差数列且为数列的前项和， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 跟踪训练2.已知等差数列满足，且与的等差中项为5. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 四、错位相减法 错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 例4.已知等差数列 满足，，公比不为-1的等比数列满足，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 跟踪训练 3 已知数列 满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 五、分组求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例 5.已知数列满足: ，，. (1)证明: 是等比数列; (2)求数列的前项和. 跟踪训练 4 已知数列的前项和，且. ⑴求它的通项 ⑵若，求数列的前项和. 六、并项求和法 一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用 两项合并求解．例如，=+. 例 6.已知等差数列的前项和，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和． 七、奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度 1：求的前项和 角度 2：求的前和 2、通项含有的类型；例如：. 例 7 已知等差数列的前项和，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 1、 公式法 1.等差数列的前项和. 2.等比数列的前项和. 例1：已知是公差为3的等差数列，数列满足. （1） 求的通项公式及其前前项和； （2） 求前项和. .解 ：（1） 1. 即： 2、 倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 例2.已知函数满足，若数列满足，则数列的前 20项的和为（ ） A．230 B．115 C．110 D．100 【答案】B 【详解】，① ，② 两式相加，又因为 故，所以 所以的前20项的和为 故选：B 跟踪训练 1 设函数，设，. (1)计算的值; (2)求数列的通项公式． 【详解】（1）； （2）由题知，当时，， 又，两式相加得 ， 所以， 又不符合， 所以. 三、裂项相消法 1、等差型 ①，特别注意，，；，. ②，如：（尤其要注意不能丢前边的）. ③. 2、无理型 ①，如. 3、指数型 ①，如：. 4、通项裂项为“+”型 如：① ；②. 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 例3.已知是等差数列且为数列的前项和， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公差为，则， 所以， （2）， 所以 跟踪训练2.已知等差数列满足，且与的等差中项为5. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ∵，即， 又∵与的等差中项为5， ∴，解得， ∴数列的通项公式为； （2）由（1）得， ∴ . 四、错位相减法 错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可